Deje que$\{X_n\}_{n=0}^\infty$ sea un conjunto simple con caras$d_i:X_n\to X_{n-1} $, un conjunto simplicial se llama un Complejo Kan si para cualquier$x_0,...,x_{k-1},x_{k+1},...,x_{n+1}$ si$d_i(x_j)=d_{j-1}(x_i)$ para$i<j$, entonces hay$x\in X_{n+1}$ tal que$d_i(x)=x_i$ para$i\neq k$. Mi pregunta es ¿por qué pedimos saltar a$k$? ¿Qué sucede si en cambio le pedimos que para cualquier$x_0,...,x_n\in X_n$ con$d_i(x_j)=d_{j-1}(x_i)$ hay$x\in X_{n+1}$ con$d_i(x)=x_i$?
Respuesta
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Malachi
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La condición generalmente dice que puede ampliarse un mapa $\Lambda^k[n+1] \to X$ $\Delta[n+1] \to X$. Su otra condición dice que puede ampliarse un mapa $\partial\Delta[n+1] \to X$ $\Delta[n+1] \to X$. La última condición implica la primera condición, pero incluso más aún, implica que el $X$ es contractible. Teniendo en cuenta las realizaciones geométricas, o haciendo alguna teoría de homotopía en sistemas simplicial, uno puede ver esto.
