Donde $$s = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$ y $$ M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$$
Se me ocurrió un boceto de prueba para el caso de $2$ de los valores, pero me gustaría una manera de generalizar (mi "prueba" por desgracia no es así, como lo que puedo decir).
- La prueba de $2$ valores (agradecería los comentarios de esta así):
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2} \geq \frac{1}{2} (|x_1- \bar{x}| + |x_2- \bar{x}|)$$
Ahora vamos a $|x_1- \bar{x}| = a$ $|x_2- \bar{x}| = b$ $2$ catetos de un triángulo rectángulo y $\sqrt{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2} = c$ su hipotenusa.
Y deje $\theta$ ser el ángulo entre el $c$ y, o bien $a$ o $b$.
A continuación, $(\sin{\theta} + \cos{\theta}) = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} = \frac{\frac{1}{2} (|x_1- \bar{x}| + |x_2- \bar{x}|)}{\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2}}$
de modo que $$ \sqrt{2} \geq (\sin{\theta} + \cos{\theta})$$
Y sabemos que $\max(\sin{\theta} + \cos{\theta}) = \sqrt{2}$. QED?
No tengo idea de cómo probar el caso general, aunque.
