Demostrar por inducción $\sum_{i=0}^n i(i+1)(i+2) = (n(n+1)(n+2)(n+3))/4$

Question

¿Alguien sabe cómo hacerlo? Estoy teniendo problemas después del siguiente paso:

Demostrar por inducción que $\sum_{i=0}^n i(i+1)(i+2) = (n(n+1)(n+2)(n+3))/4$

Gracias

$((n(n+1)(n+2)(n+3))/4) + (n+1)(n+2)(n+3)$

No estoy seguro de cómo simplificar después de este paso.

Gracias

Answer 1

Si usted nota que $$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}4-\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4=\frac{[(n+4)-n](n+1)(n+2)(n+3)}4=(n+1)(n+2)(n+3)$$ el paso inductivo debe ser fácil.

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De esta manera se sigue la idea de que puede ser utilizado en muchas de las pruebas semejantes, es decir, que $$F(n)=\sum_{i=1}^n f(i) \Leftrightarrow F(n)-F(n-1)=f(n), F(0)=0.$$ Ver este respuesta por Bill Dubuque.

(Yo he usado $F(n+1)-F(n)$ por encima, pero esto no cambia demasiado, tal vez usted puede tratar de llegar a $F(n)-F(n-1)$ ti mismo.)

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En caso de que usted ya está familiarizado con los coeficientes binomiales, podría ser interesante para usted que si usted tiene que dividir esta ecuación por seis, usted puede volver a escribir como $$\sum_{j=3}^{n+2}\binom j3=\binom{n+3}4,$$ que es un caso particular de hockey stick de identidad, véase, por ejemplo, esta pregunta: inducción de pruebas con respecto a una suma de los coeficientes binomiales

(Esto no es importante para la inducción de la prueba, pero podría ser útil para que se den cuenta de las conexiones entre las distintas áreas que han aprendido. Por ejemplo, después de la reescritura de la identidad mediante los coeficientes binomiales, también puede intentar encontrar una combinatoria de interpretación.)