Cómo probar las siguientes propiedades de la función

Question

Definición: F es una función si F es una relación y $(x,y) \in F$$(x,z) \in F \implies y=z$.

Estoy leyendo la Introducción a la Teoría de conjuntos por el Monje, J. Donald (James Donald), de 1930, y me encontré con un teorema 4.10.

Teorema 4.10

(ii)$0:0 \to A$ si $F : 0 \to A$,$F=0$.

(iii) Si $F:A\to 0$,$A=F=0$.

Donde el libro se acaba de explicar el concepto de función y ahora está afirmando su función de la propiedad. Estoy atascado en lo que realmente significa y cómo demostrarlo. Puede ser me puede dar una pista.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Considere la función $F\colon 0\to A$, supongamos que hay algunos $\langle x,y\rangle\in F$. Esto significa que $x\in dom F$, ya que contamos con $dom F = 0$ $x\in 0$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no hay pares ordenados en $F$, a partir del hecho de que es una función sabemos que no hay otros elementos en $F$.

Si es así, hemos demostrado a $F=0$.

La misma prueba se aplica para el otro tipo de declaración.

Editar:
Un método alternativo es por el cardenal aritmética: $|F|=|dom F| \le |dom F|\times|rng F|$

La primera igualdad es simplemente la proyección de $\langle x,F(x)\rangle \mapsto x$, donde el segundo es el mapa de identidad.

A partir de esto, supongamos $dom F = 0$ $F=0$ y supongamos $rng F=0$$F=0$$dom F=0$.

Answer 2

Supongo que por $0$ o sea el conjunto vacío ($\varnothing$). No sé cómo el libro define una relación (la definición habitual es que es un subconjunto del producto Cartesiano de dos conjuntos). Pero a menos que se menciona que el dominio de una relación $R\subset A\times B$$A$, a continuación, la definición de una función como usted lo presente es diferente de la norma establecida teórico de la definición de la función y, además, (iii) no es correcta. Bajo el estándar de definición de una función (es decir, que si $F\subset A\times B$$dom(F)=A$) (ii) y (iii) son correctas. Para ver esto, usted tiene que examinar cuidadosamente si caen dentro de la definición de una función:

Observar que $\varnothing\subset A\times B$. También tenga en cuenta que para cualquier conjunto $A$, $\varnothing\times A= A\times\varnothing=\varnothing$ y por lo tanto sólo su subconjunto (y posible función) es el conjunto vacío. Por lo $\varnothing$ es, por definición, una relación de $A\times B$ cualquier $A$ $B$ y, además, la única relación si uno de los $A$ o $B$ está vacía.

Ahora si $F\subset \varnothing\times B$ $F=\varnothing$ y no puede ser $(x,y)\in F$, $(x,z)\in F$ y $y\neq z$ (desde $F$ está vacía). Por lo tanto $F$ es una función. Tenga en cuenta que si asumimos que para una función de $F\subset A\times B$ tenemos $dom(F)\subset A$, luego con un argumento similar se demuestra que dado arbitraria de conjuntos de $A$ $B$ el conjunto vacío es siempre una función entre el $A$ $B$ (y por lo tanto (iii) es falsa).

Ahora para (iii) en virtud de la definición estándar, si $A$ no está vacía, a continuación, $F$ tiene que ser no-vacío ya que su dominio no está vacío, pero en el otro lado $F=\varnothing$ (como un subconjunto del conjunto vacío). Por lo tanto $F=A=\varnothing$.