Ejemplo para refutar la afirmación: para todos los números reales $x$ y $y$ Si $x + \lfloor x \rfloor = y + \lfloor y \rfloor$ entonces $x = y$

Question

Se supone que debo refutar esta afirmación pero no encuentro ningún ejemplo. ¿Podría alguien darme una pista/guía?

Para todos los números reales $x$ y $y$ Si $x + \lfloor x \rfloor = y + \lfloor y \rfloor$ entonces $x = y$ .

No puedo encontrar ningún ejemplo que refute esto todavía así que me estoy convirtiendo en creer que esto es cierto..

Se agradece cualquier idea :)

Answer 1

Supongamos que $x<y$ , entonces si $0<y-x<1$ tenemos que $\lfloor x\rfloor = \lfloor y \rfloor$ o $\lfloor x \rfloor < \lfloor y \rfloor$ en cualquier caso, ya que $x<y$ tenemos $x + \lfloor x \rfloor < y +\lfloor y \rfloor$ . Si por el contrario $y-x>1$ entonces el resultado es claro ya que también tenemos $\lfloor x \rfloor <\lfloor y \rfloor$ . Por lo tanto, la función es estrictamente creciente. Y por la pista en los comentarios, también es inyectiva.

Answer 2

Dejemos que $\lfloor x \rfloor = n \in \mathbb Z$

Entonces $n \le x < n+1$ . Dejemos que $\alpha = x - n$ . Entonces $0 \le \alpha < 1$ y $x = n + \alpha$ .

Asimismo,

Dejemos que $\lfloor y \rfloor = j \in \mathbb Z$ Entonces $j \le y < j+1$ . Dejemos que $\beta = y - j$ . Entonces $0 \le \beta < 1$ y $y = j +\beta$ .

Supongamos que $x + \lfloor x \rfloor = n + \alpha + n = 2n + \alpha = \lfloor y \rfloor = j + \beta + j = 2j + \beta$ .

Así que $2n + \alpha = 2j + \beta$ y luego $\alpha - \beta = 2j - 2n$ .

$2j - 2n\in \mathbb Z$ .

Y porque $0 \le \alpha < 1$ sabemos $-beta \le \alpha - \beta < 1 - \beta$ .

Y porque $0 \le \alpha < 1$ sabemos $-1 < -beta \le \alpha -\beta$ . Y sabemos que $1 -\beta \ge 1 - beta > \alpha - \beta$ .

Así que $-1 < \alpha -\beta < 1$ . Pero $\alpha - \beta = 2j -2n$ es un número entero. El único número entero entre $-1$ y $1$ es $0$ . Así que $\alpha - \beta = 0$ .

Así que $\alpha = \beta$ .

Y $2j - 2n = 0$ así que $j =n$ . Así que $x = n +\alpha = j + \beta = y$ .

y $0 \le \beta$ entonces $-1 < \alpha - \beta < 1$

Answer 3

Dejemos que $\{x\}$ sea la parte fraccionaria de $x$ . Utilizaremos los siguientes resultados.

Lema: Dejemos que $x$ ser real y $n$ sea un número entero. Entonces $\lfloor x+n \rfloor=\lfloor x \rfloor+n$ y $\{x+n\}=\{x\}$ .

Lema: Si $\lfloor x \rfloor=\lfloor y \rfloor$ y $\{x\}=\{y\}$ entonces $x=y$ .

Ahora, supongamos que $x+\lfloor x \rfloor=y+\lfloor y \rfloor$ . Por el lema, $\{x+\lfloor x \rfloor\}=\{x\}$ y así $\{x\}=\{y\}$ . Del mismo modo, tomando el menor número entero, ya que $\lfloor x+\lfloor x \rfloor\rfloor=2\lfloor x \rfloor$ obtenemos $2 \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor y \rfloor$ . Por el segundo lema, $x=y$ .

Answer 4

Sabemos que x=[x]+{x}, donde []-función de piso, {}-parte fraccionaria.

La ecuación dada se convierte así,

2[x]-{x}=2[y]-{y}

[x]-[y]= $\frac{\{x\}-\{y\}}{2}$

Para cualquier número real 0<{x}<1 y por tanto -1<{x}-{y}<1

-1/2< $\frac{\{x\}-\{y\}}{2}$ <1/2

Dado que [x]-[y] es siempre un número entero, el único valor posible en este rango es 0. [x]-[y]=0 y {x}-{y}=0

Por lo tanto, x=y.