Raíces de $2x^3-4x+1$

Question

Estoy teniendo dificultades para conseguir la solución para la ecuación cúbica $2x^3-4x+1=0$ y de http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cúbico%20Formula.pdf afirma que la solución general a $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ es $$p+q+r=-B/A$$ $$pq+qr+rp=C/A$$ $$pqr=-D/A$$

donde $p,q,r$ son las raíces.

También probé http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cúbico%20Formula.pdf y muy seguido cuidadosamente su técnica (que se ve a primera vista diferente, pero obviamente debe ser equivalente) sin embargo no se alinean con lo que tengo de Wolframalpha. Así que sólo estoy mirando a ver donde me equivocaba o cómo los demás se solucionaría esto.

Aquí está mi intento:

$$p+q+r=0$$ $$pq+qr+rp=-2$$ $$pqr=-1/2$$

De la primera tenemos que $$p=-q-r$$ luego de la segunda $$p(q+r) = -2-qr$$ a continuación, a partir de las dos de estos tenemos $$-p^2 = -2-qr$$ equivalentemente, $$0=p^3 -2p+1/2$$

Espera! Qué?! Un cúbicos para resolver un cúbicos..... cúbicas todo el camino hacia abajo!? Obviamente que no.... lo que si es posible solucionar esto, aparte de las técnicas numéricas, yo estaría muy interesado en dicha respuesta. Gracias

Answer 1

Deje $x=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}t.$

Por lo tanto, $$\frac{32\sqrt2}{3\sqrt3}t^3-\frac{8\sqrt2}{\sqrt3}t+1=0$$ o $$4t^3-3t+\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}=0.$$ Ahora, vamos a $t=\cos\theta$.

Por lo tanto, $$\cos3\theta=-\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}$$ o $$\theta=\pm\left(60^{\circ}-\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}\right)+120^{\circ}k,$$ where $k$ es un número entero.

Id est, tenemos tres siguientes raíces: $$x_1=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\cos\left(60^{\circ}-\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}\right),$$ $$x_2=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\cos\left(60^{\circ}+\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}\right)$$ y $$x_3=-\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\frac{3\sqrt3}{8\sqrt2}\right).$$

Answer 2

Si utilizas lo que se describe aquí (ya <span class="math-container">$\Delta=404$</span> implica tres raíces reales), usted debe terminar con <span class="math-container">$$ x_k = 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \cos \left (\frac {2 \pi k} {3}-\frac {1} {3} \cos ^ {-1} (-\frac {3\sqrt 3} {\sqrt 8 2}) \right) \qquad \text{with} \ qquad k = 0, 1, 2$</span>