¿Cuál es la relación exacta entre la antimateria y la relatividad?

Question

He visto en la QM relativista que, al tratar de crear la Ecuación de Dirac, sólo tiene sentido estar actuando sobre -como mínimo- un vector de 4 componentes (en realidad un bi-espinor). Supongo que esto se debe a que la representación más pequeña del álgebra de Clifford es de 4 dimensiones.

Entonces los componentes se identifican como antipartículas. Pero esto parecía muy parecido a un accidente, o una coincidencia. ¿Lo es? ¿O hay una buena razón para que las antipartículas aparezcan específicamente cuando intento hacer una QM relativista? Hasta ahora no había visto nada muy relativista en las antipartículas; son simplemente otras partículas.

Mi mejor conjetura para la conexión es que se requiere que los modos de antipartículas en sus campos sean relativistamente invariantes; ¿quizás diferentes observadores ven diferentes cantidades de partículas/antipartículas? Entonces esto es sólo la ecuación de Dirac adelantándose a la QFT. No lo sé.

Answer 1

Para entender mejor la relación, lo mejor es remontarse a la historia de los descubrimientos tal y como se hicieron en los primeros días de la teoría cuántica de campos.

Empecemos con la ecuación de Schrodinger: $$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t, {\bf x}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(t, {\bf x}). $$

Describe una partícula cuántica newtoniana. La terminología estándar es utilizar la palabra "clásica" para "no cuántica", y "newtoniana" para "no relativista".

La ecuación de Schrodinger en el vacío puede resolverse fácilmente. Sus soluciones son ondas planas

$$ \Psi_{\bf k}(t, {\bf x}) = e^{-i E({\bf k}) t + i {\bf k} {\bf x}}, $$

donde $E({\bf k}) = {\bf k}^2 / 2m$ es la fórmula newtoniana para la energía de la partícula. La onda no es normalizable, lo que indica que los estados físicos reales son superposiciones de ondas sujetas a restricciones adicionales (el subespacio relevante de $L_2(\mathbb{R}^3)$ se llama el espacio de Sobolev, consiste en funciones de onda que decaen exponencialmente en el infinito espacial).

Sin embargo, hay una interpretación física directa de una sola onda $\Psi_{\bf k}$ - es un estado propio del operador de momento con valor propio ${\bf k}$ . Así que describe una partícula de energía positiva $E$ y el impulso ${\bf k}$ . Hasta aquí todo bien.

Pero la ecuación de Schrodinger, a pesar de ser un gran éxito, tiene un gran problema conceptual: no es relativista.

Ahora hay una ecuación de onda relativista llamada ecuación de Klein-Gordon:

$$ \frac{\partial^2}{c^2\,\partial t^2} \Psi(t, {\bf x}) - \Delta \Psi(t, {\bf x}) + m^2 \Psi(t, {\bf x}) = 0. $$

Ver que esta ecuación es relativista es sencillo: basta con reescribirla como $$ \left( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + m^2 \right) \Psi = 0, $$

que es manifiestamente invariante de Lorentz.

¿Cómo dar sentido a sus soluciones? ¿Cuáles son las soluciones?

Bueno, una estrategia obvia sería enchufar la onda del avión $\Psi_{{\bf k}, E}$ . Comprobarás que efectivamente es una solución de la ecuación de Klein-Gordon, si

$$ E({\bf k}) = \pm c \sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2}, $$

la expresión en la que se puede encontrar fácilmente la propia fórmula de Einstein para la dependencia relativista de la energía con respecto al momento.

Por lo tanto, tenemos un bonito límite $c \rightarrow \infty$ en la que la relatividad especial se convierte en física newtoniana. Por supuesto, lo que realmente sucede es $k \ll m c$ , lo que justifica la fijación de $c$ a $\infty$ ya que es mucho mayor que la escala típica de la dimensión $m/s$ que es $k/m$ .

Pero ahora este límite, que ya conocíamos desde el curso de introducción a la Relatividad Especial, aparece en el quantum teoría. Por ejemplo, esto es ahora un límite de las ondas:

$$ e^{-ic\sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2} + i {\bf k} {\bf x}} \rightarrow e^{-i m c^2 t} e^{-i c t {\bf k}^2 / 2m + i {\bf k} {\bf x}}.$$

Esto es genial - tenemos un límite no relativista en la teoría cuántica, por lo que la ecuación de Klein-Gordon puede considerarse como la descripción más profunda y fundamental de una partícula (porque es tanto cuántica como relativista), pero... Ignoramos por completo la otra clase de soluciones: las que tienen $E$ negativo (recuerda el extraño $\pm$ delante de la raíz cuadrada).

Las soluciones de energía negativa no tienen contrapartidas newtonianas. Simplemente, ¡no las encontramos cuando analizamos la ecuación de Schrodinger! Al mismo tiempo, son omnipresentes en la relatividad especial: su existencia se remonta a una de las identidades cinemáticas más conocidas que mantiene unida toda la física moderna: la fórmula de Einstein

$$ E^2 - {\bf k}^2 c^2 = m^2 c^4. $$

De hecho, esa fórmula es cuadrática en $E$ y, por tanto, si $E_0$ es una solución, entonces también lo es $-E_0$ .

¿Cómo interpretar esas soluciones? ¿Qué significa que una partícula tenga energía negativa y por qué no se ha observado en los experimentos?

Dirac estaba considerando un tipo diferente de ecuación de onda, la que describe una partícula con espín $1/2$ . En su mayor parte es análoga a la de Klein-Gordon: una versión newtoniana para el espín $1/2$ también existe (llamada ecuación de Pauli) y la ecuación de Dirac admite soluciones de energía positiva y negativa, de las cuales las de energía positiva tienen una bonita interpretación en términos de soluciones de la ecuación de Pauli en el límite newtoniano, y las soluciones negativas no. Así que el problema es esencialmente el mismo.

Pero hay una distinción importante: las partículas de Dirac son fermiones, es decir, obedecen a la estadística Fermi-Dirac y, por tanto, al principio de exclusión de Pauli. Esto sólo puede entenderse en una teoría de múltiples partículas, en el nivel de una teoría de una sola partícula la estadística de intercambio no existe.

Esto llevó a Dirac a plantear la hipótesis de que los estados de energía negativa ya se llenan perfectamente en lo que llamamos el vacío (el objeto resultante se llama mar de Dirac). Esa fue, en su momento, la única solución buena a la existencia de los estados de energía negativa. Pero la existencia del mar significa que al igual que los estados de energía positiva, que no se llenan en el vacío, pueden llenarse (lo que interpretamos como electrones individuales), los estados de energía negativa que son llenado en el vacío, puede ser desocupado. El "agujero" resultante se comportaría exactamente como un electrón, salvo que todos sus números cuánticos estarían invertidos (porque en realidad es un agujero, es decir, la ausencia de un electrón esperada). Esto incluye su energía y su carga electromagnética. Pero como se trata de un estado de energía negativa, el agujero se comportaría en realidad como una partícula de energía y carga positivas: un positrón.

Es sorprendente lo poco que ha cambiado el panorama desde entonces. Si se observa la formulación moderna de la QFT relativista de los electrones, su espacio de Fock tendría exactamente la misma estructura que el mar de Dirac. Este espacio de Fock está generado por un álgebra de operadores de creación/aniquilación cuantificados por Fermi para electrones y positrones. Una de las propiedades de la cuantización de Fermi es que los estados vacíos y llenos están en igualdad de condiciones, lo que significa que la materia y la antimateria están en igualdad de condiciones en la QFT.

La situación es un poco diferente con el problema original, el de la ecuación de Klein-Gordon. Describe partículas de espín 0 que son bosones, por lo que el principio de exclusión de Pauli no está a nuestra disposición, y la construcción del mar de Dirac no funciona.

Sorprendentemente, parece que la solución de la QFT sigue funcionando. El espacio de Fock bosónico se genera mediante operadores de creación/aniquilación cuantificados por Bose para partículas y antipartículas.

Por último, ¿cómo podemos asegurarnos de que la teoría resultante no tiene partículas de energía negativa? Miramos el Hamiltoniano de la propia QFT, no el Hamiltoniano de la partícula individual:

$$ H = \sum_{\bf k} \left( E_{\bf k} a_{\bf k}^{\dagger} a_{\bf k} + E_{\bf k} b_{\bf k}^{\dagger} b_{\bf k} \pm \frac{1}{2} \right) $$

donde $a$ y $b$ son los operadores de aniquilación de las partículas y las antipartículas, respectivamente, y $\pm$ corresponde al caso bosónico/fermiónico respectivamente (para el campo de Dirac se entiende una suma sobre los índices de espín). Es fácil demostrar que el estado de vacío $\left| 0 \right>$ de la QFT (definida como el estado aniquilado por todos los $a$ y $b$ ) es el estado de menor energía, lo que significa que $H$ está acotado por debajo.

Por lo tanto, no hay estados de energía negativa en la QFT. En cambio, hay antipartículas. Las antipartículas son las manifestaciones multiparticulares de la existencia de soluciones de energía negativa, que son omnipresentes en la Relatividad Especial.

Espero que esto responda a su pregunta.