Urna a contiene a$x$ canicas rojas y $y$ mármoles blancos, y la Urna B contiene a$z$ canicas rojas y $v$ mármoles blancos.
Si un mármol que se extrae de la Urna a y poner en la Urna B y, a continuación, un mármol que se extrae de la Urna B, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda canica sea roja?
Tengo la respuesta $\frac{2z+1}{z+v+1}$, pero mi libro nos da la respuesta $\frac{xz+x+yz}{(x+y)(z+v+1)}$. No puedo entender cómo es que los libros fue la respuesta que se obtiene.
Hay dos casos: el de Una canica roja ha sido extraídas de la urna a y una de mármol blanco, ha sido extraída de la urna A.
$\texttt{First case}$:
La probabilidad de que una canica roja ha sido extraídas de la urna Una es $\frac{x}{x+y}$. Entonces usted tiene $z+1$ canicas rojas en la urna B y $z+v+1$ canicas en total. La probabilidad de sacar una canica roja de la urna B, entonces es $\frac{z+1}{z+v+1}$
$\texttt{Second case}$:
La probabilidad de que un mármol blanco ha sido extraídas de la urna Una es $\frac{y}{x+y}$. Entonces usted tiene todavía $z$ canicas rojas en la urna B y $z+v+1$ canicas en total. La probabilidad de sacar una canica roja de la urna B, entonces es $\frac{z}{z+v+1}$
Por lo tanto, la probabilidad de que el sombrero de la segunda canica sea roja es
$$\frac{x}{x+y}\cdot \frac{z+1}{z+v+1}+\frac{y}{x+y}\cdot \frac{z}{z+v+1}=\frac{x(z+1)+yz}{(x+y)\cdot (z+v+1)}=\frac{xz+x+yz}{(x+y)\cdot (z+v+1)}$$
De la observación en el comentario.
En primer lugar, se definen los eventos relevantes:
$A \texttt{ :Marble from urn A is red}$
$\overline A\texttt{ :Marble from urn A is white}$
$B \texttt{ :Marble from urn B is red}$
$\overline B\texttt{ :Marble from urn B is white}$
Hay dos formas donde la seocond es de mármol rojo.
$\texttt{Marble from urn A is red} \rightarrow \texttt{Marble from urn B is red}$
$\texttt{Marble from urn A is white} \rightarrow \texttt{Marble from urn B is red}$
En comparación con sólo una manera de tener una mayor oportunidad de obtener una canica roja de la urna B. es por Eso que usted agregue los dos casos.
Si usted va a lo largo de un sendero que cada nodo representa un evento, que ocurre con una determinada probabilidad. En la ruta 1 el evento a y el evento B ocurre al mismo tiempo. Es por eso que hemos de multiplicar las probabilidades: $P(A)\cdot P(B|A)$. La segunda probabilidad es una probabilidad condicional, pues la probabilidad depende de lo que hemos extraído de la primera urna.
Similar para la segunda ruta: $P(\overline A)\cdot P(B|\overline A)$
Es una aplicación de la ley de la probabilidad total $P(B)=P(A)\cdot P(B|A)+P(\overline A)\cdot P(B|\overline A)$
Su respuesta no implican $x$ o $y,$ así que tienes la misma probabilidad de no importa cuál sea la distribución de los colores en la primera urna. Seguramente, esto no puede ser correcto.
Creo que se están descuidando el peso de sus probabilidades, la probabilidad de que los resultados iniciales. Supongo que estás diciendo algo como, si la primera canica es roja, la probabilidad de que la segunda es de color rojo es $${z+1\over z+v +1},$$ and if the first marble is black, the probability that the second marble is black is $${z\over z+v +1},$$ y añadimos estas probabilidades.
Pero tenemos $$\begin{align} Pr(M_2=R)&=P(M_2=R|M_1=R)\cdot P(M_1=R)\\ &+ P(M_2=R|M_1=B)\cdot P(M_1=B)\end{align}$$ donde $M_1$ e $M_2$ son los colores de la primera y la segunda a las canicas. Usted acaba de añadir hasta las probabilidades condicionales, sin ponderación ellos por las probabilidades de que el color de la primera de mármol.
Si usted conecte estas, me imagino que vamos a obtener la respuesta en el libro.
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