Necesidad del cuantificador universal en el cálculo de predicados

Question

Estoy leyendo la "Introducción a la Metamatemática" de Kleene. Allí en el capítulo 7 sección 32 menciona dos interpretaciones de las variables libres en el cálculo de predicados.

Una de ellas es que "Para la interpretación de la generalidad de una variable $x$ en $A(x)$ el contexto en el que todas las apariciones libres de $x$ debe representar el mismo objeto es exactamente el conjunto $A(x)$ . La fórmula $A(x)$ significa entonces lo mismo que $\forall x A(x)$ ."

Pregunta : Si $A(x)$ significa lo mismo que $\forall x A(x)$ Entonces, ¿por qué introducimos $\forall$ ¿en absoluto?

Answer 1

Considere las frases $$\forall x(P(x)\vee Q(x))$$ y $$(\forall x(P(x)))\vee (\forall x(Q(x))).$$ Si eliminamos el $\forall$ s, estos no pueden ser distinguidos, pero obviamente deberían serlo (tomar $P$ = "es par" y $Q$ = "es impar", por ejemplo).

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Permítanme decir un poco más sobre lo que está pasando aquí.

Kleene está describiendo esencialmente una operación sobre fórmulas - cierre universal . Dada una fórmula $\varphi$ el cierre universal de $\varphi$ se obtiene cuantificando universalmente sobre todas las variables libres de $\varphi$ . Por ejemplo, el cierre universal de $P(x)\wedge\exists y(Q(y,z))$ sería $\forall x\forall z[P(x)\wedge\exists y(Q(y,z))]$ . La operación de cierre universal ignora cuantificadores universales vinculantes pero no ignora los cuantificadores universales en general.

Entonces, ¿por qué esto se siente raro? Bueno, intuitivamente queremos que la equivalencia sea "estructural" - si $\varphi$ equivale a $\hat{\varphi}$ entonces deberíamos ser capaces de tomar una fórmula $\psi$ y reemplazar todos los $\varphi$ s en $\psi$ con $\hat{\psi}$ s sin cambiar el significado de $\psi$ . La equivalencia entre $P(x)$ y $\forall x(P(x))$ Sin embargo, cuando adoptamos la semántica que has descrito anteriormente, no es estructural en este sentido. Por cierto, tomo esto como una razón para no ¡hazlo!