Aquí es Prob. 2, Segundo 27, en el libro de Topología por James R. Munkres, 2ª edición:
Deje $X$ ser un espacio métrico con la métrica $d$; deje $A \subset X$ ser no vacío.
(a) Mostrar que $d(x, A) = 0$ si y sólo si $x \in \overline{A}$.
(b) Mostrar que si $A$ es compacto, $d(x, A) = d(x, a)$ para algunos $a \in A$.
(c) Definir el $\epsilon$-barrio de $A$ en $X$ a ser el conjunto de $$ U(A, \epsilon) = \{ \ x \in X \ \vert \ d(x, A) < \epsilon \ \}. $$ Mostrar que $U(A, \epsilon)$ es igual a la unión de la open bolas $B_d(a, \epsilon)$ para $a \in A$.
(d) Suponga que $A$ es compacto; deje $U$ ser un conjunto abierto que contiene a$A$. Muestran que algunas de $\epsilon$-barrio de $A$ está contenido en $U$.
(e) muestra el resultado en (d) no necesita tener si $A$ es cerrado, pero no compacto.
Este y este son dos de Matemáticas SE postea en este problema. Y, aquí es también una solución a este problema.
Creo que soy claro en las partes (a) a (c) de este problema. Así que aquí voy a dar mi intento en la parte (d).
Mi Intento:
En primer lugar, algunos de notación: Para cualquier punto de $x \in X$, definir $$ d(x, A) \colon= \inf \{ \ d(x, a) \ \vert \ a \in A \ \}. \tag{Definition A} $$ Y, para cualquier punto de $p \in X$ y para cualquier número real $\delta > 0$, definimos $$ B_d (p, \delta) \colon= \{ \ x \in X \ \vert \ d(x, p) < \delta \ \}. \tag{Definition B} $$
Como $U$ es un conjunto abierto en $X$ con la métrica de la topología determinada por la métrica $d$, por lo que, para cada elemento $u \in U$, existe un número real $\epsilon_u > 0$ tales que $$ B_d \left( u, \epsilon_u \right) \subset U. $$ [Consulte a 20 Segundos en Munkres, especialmente la parte de la sección anterior Ejemplo 1.]
En particular, como $A \subset U$, por lo que, para cada elemento $a \in A$, podemos encontrar un número real $\epsilon_a > 0$ tales que $$ B_d \left( a, \epsilon_a \right) \subset U. \tag{1} $$ Para cada una de las $\epsilon_a > 0$, permite elegir un número real $\delta_a$ tales que $$ 0 < \delta_a \leq \frac{\epsilon_a}{2}. \tag{2} $$
Consideremos ahora la colección $$ \left\{ \ B_d \left( a, \delta_a \right) \ \vert \ a \in A \ \right\}. $$ Esta es una colección de abrir conjuntos de $X$ cuya unión contiene el conjunto de $A$; es decir, esta colección es una cubierta de $A$ por conjuntos abiertos en $X$. Entonces, por el Lema 26.1 de Munkres, hay algunos finito sub-colección de esta colección en la que también cubre $A$. Es decir, no existen puntos de $a_1, \ldots, a_n \in A$ tales que $$ A \subset \bigcup_{j=1}^n B_d \left( a_j, \delta_{a_j} \right). \tag{3} $$
Vamos ahora a poner $$ \epsilon \colon= \frac{1}{2} \min \left\{ \ \delta_{a_1}, \ldots, \delta_{a_n} \ \right\}. \tag{4} $$ Esta $\epsilon > 0$ de curso, en virtud de (2) anteriormente.
Ahora, desde la Parte(c) tenemos $$ U (A, \epsilon) = \bigcup_{a \in A} B_d(a, \epsilon). $$ Nos deja elegir un punto arbitrario $x$ en $U(A, \epsilon)$. Entonces como $$ x \in \bigcup_{a \in A} B_d(a, \epsilon), $$ así, por la definición de la unión de conjuntos, existe un punto de $a_* \in A$ tales que $$ x \in B_d \left( a_*, \epsilon \right), $$ que es tal que $$ d \left( x, a_* \right) < \epsilon, \tag{5} $$ en virtud de (Definición B) anterior.
Ahora como $a_* \in A$, por lo que en virtud de (3) anterior, podemos concluir que $$ a_* \in B_d \left( a_k, \delta_{a_k} \right) $$ y así $$ d \left( a_*, a_k \right) < \delta_{a_k}, \tag{6} $$ para al menos uno de los $k = 1, \ldots, n$. Y por esta misma $k$, el uso de (2), (4), (5), y (6), obtenemos $$ d \left( x, a_k \right) \leq d \left(x, a_* \right) + d \left( a_*, a_k \right) < \epsilon + \delta_{a_k} < \delta_{a_k} + \delta_{a_k} = 2 \delta_{a_k} \leq \epsilon_{a_k}. $$ Así $$ x \in B_d \left( a_k, \epsilon_{a_k} \right). $$ Así que a partir de (1) llegamos a la conclusión de que $x \in U$.
Pero por nuestra elección $x$ fue un elemento arbitrario de $U(A, \epsilon)$. Por lo tanto, tenemos $$ U(A, \epsilon ) \subset U. $$
Es esto una prueba de la correcta? Si es así, entonces es de cada paso de esta prueba lo suficientemente claro? Si no, entonces, donde falta?
