¿Hay un equivalente de número de clase para ideales no fraccionales?

Question

Considere la posibilidad de $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ con clase número $h$, donde $\alpha$ es una raíz de $f(x)=0$, y el conjunto de los números primos y las raíces de la $p,r$ tal que $f(r) \equiv 0 \bmod p$. Parece que hay un equivalente del número de clase de ideales en $\mathcal{O}_K$ de la forma $<p,\alpha-r>$.

Parece que la proporción de tales ideales que son los principales es $1/H$, donde $H$ es un múltiplo entero de $h$. Por otra parte, todos los ideales de norma $p^H$ son principales (ver ejemplos más abajo).

No conozco a nadie de nada en la literatura que explora este tema?

Ejemplo: considere la posibilidad de $f(x)=x^3+91$. Esto le da a $h=9$. Empíricamente, la proporción de las principales ideas de los del tipo anterior es $1/18$, es decir, $H=18$. $f(r) \equiv 0 \bmod 47$ tiene una sola raíz 28. $g(x)=1175x^2-24252x+27354$ ha $g(28) \equiv 0 \bmod 47$, y la norma $N(g(\alpha))=47^9$, dando a $N(g(\alpha)^2)=47^H$. No hay ningún polinomio $u(x)$ con la propiedad raíz de $g(x)$ pero con $N(u(\alpha))=47^k$ para $k<9$.

$f(r) \equiv 0 \bmod 31$ tiene tres raíces $7, 20, 4$. $m(x)=-84x^2-219x+844$ ha $m(7) \equiv 0 \bmod 31$, $m(20) \not\equiv 0 \bmod 31$, $m(4) \not\equiv 0 \bmod 31$, e $N(m(\alpha))=31^6$, dando a $N(m(\alpha)^3)=31^H$. Así como no hay ningún polinomio $u(x)$ con la raíz de las propiedades de $m(x)$ pero con $N(u(\alpha))=31^k$ para $k<6$.

El de arriba es el más simple cúbico $f(x)$ con $H \not= h$ he sido capaz de encontrar. Más ejemplo extremo es $f(x)=x^3+6876x+573$, lo que ha $h=34$, $H=13056=384h$.

Answer 1

Esto está al cuidado de Chebotarev densidad del teorema, o, más clásica, por un teorema debido a Dirichlet (demostrado más tarde por Weber y Schering y otros).

Tomar, como un ejemplo simple, el cuadrática campo $K = {\mathbb Q}(\sqrt{-23})$ con la clase de número de $3$. Los números primos de grado $1$ en $K$ que son los principales en $K$ son exactamente las mismas que se dividen en los de Hilbert campo de la clase de $H$, por lo tanto tienen densidad de $\frac{1}{(H:{\mathbb Q})} = \frac16$. La mitad de los números primos son inertes en $K$; el resto de los números primos, que han densidad de $\frac13$, son igualmente distribuido entre los dos nonprincipal ideal de las clases.

Si usted comienza con una ecuación cuadrática número de campo con número de clase $9$, luego de nuevo la inerte de los números primos han densidad de $\frac12$, y el resto se distribuye por igual entre las $9$ ideal de las clases; en particular, la clase principal contiene $\frac1{18}$ de todos los números primos.