¿Cuál es la menor área de un cuadrado puede tener que un cubo todavía puede ser envuelto con ella?

Question

Mi tarea es envolver una unidad de cubo con la más pequeña hoja de papel cuadrado posible. El papel se supone que para ser infinitamente delgada de curso y no corte o de estiramiento está permitido.

Debo ser capaz de justificar cualquier reclamación que puedo hacer.

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Deje $A$ denotar esta área más pequeña, yo busco. (¿Cómo puedo saber que hay un área más pequeña? ¿No sería el mayor límite inferior de una monótonamente disminución de la secuencia de $A$'s con límite inferior 6?)

Un hecho bien conocido de la geometría dice que un cubo tiene 11 redes. Dado que ninguno de los nets son cuadrados, en mi hoja de papel no puede ser plegada, como cualquiera de ellos, por lo $A>6$.

Un cuadrado de $2\sqrt{2}$ en un lado puede envolver un cubo unitario. He aquí cómo: hacer cuatro pliegues de cada una de las perpendiculares a la diagonal y 3/2 desde el papel de la esquina. Coloque el cubo en el cuadro resultante creado por los pliegues. Las esquinas del papel se reúnen en el centro de los laterales en la parte superior. Por lo tanto, $A\le (2\sqrt{2})^2=8$.

Estoy atrapado en el $6<A\le 8$. No puedo encontrar nada más pequeños tampoco puedo demostrar que el cuadrado de la zona 8 es el más pequeño.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Actualización: $A=8$. Esto fue demostrado por Michael L. Catalano-Johnson, Daniel Loeb y Juan Beebee en "Problema 10716: Un cubo de regalo," American Mathematical Monthly, volumen 108, número 1, enero de 2001, páginas 81-82 (planteado en el volumen 106, 1999, página 167).

Entonces, ¿qué hago ahora en cuanto a aceptar una respuesta? Sería mal visto si me resumió su solución de abajo? (De esa manera, yo podría conseguir a alguien para hacer un comentario sobre él, ya que no me siga.)

Answer 1

Voy a resumir el trío de la solución aquí, ya que es esencialmente una respuesta a mi pregunta, pero tengo la esperanza de que el primer párrafo en particular podría ser aclarado por uno de ustedes y como yo no siga. El problema, titulado "Un Cubo de Regalo" [10716], se planteó en el año 1999 el volumen de la Mensual y reescribirse de manera diferente ("¿Cuál es el mayor cúbica presente que puede ser completamente envuelto (sin cortar) por una unidad de cuadrados de papel de regalo?") Claramente, una respuesta a esta pregunta va a resolver el mío y viceversa.

Dos puntos arbitrarios en la plaza son elegidos y su distancia es de considerar antes y después de envolver el cubo con la plaza. Ellos argumentan que la superficie de la distancia entre los dos puntos después de envolver no es más grande que lo que era antes de ajuste, ya que el papel no era ni corta ni se estira. [No estoy convencido. Tal vez la superficie de la distancia idea es tirar los que me fuera. Es la distancia a lo largo de la ponencia? No que luego de ser una afirmación obvia, una tautología? De lo contrario, estamos hablando de la distancia a lo largo del cubo? No hay un montón de opciones para llamar a la distancia en que caso? Y cómo se hace en este párrafo se refieren a la siguiente?]

Considere la posibilidad de un punto arbitrario en el cubo. Existe otra al menos dos veces al borde de la longitud de lejos [de la superficie de la distancia, de nuevo]. Esto implica que para cualquier punto en la plaza, otro punto que se puede encontrar en la distancia de al menos dos veces una longitud de la arista. Así que, esto también es cierto para el centro de la plaza, lo que implica que la diagonal es al menos 4 veces la longitud de un borde. Por lo tanto, el lado largo del papel cuadrado es de al menos $2\sqrt{2}$, dando a la zona de 8. Finalmente, ellos muestran que la desigualdad es apretado por lo que demuestra el patrón de plegado que se describe en la OP.

Answer 2

Considere la posibilidad de tres caras que rodea a una esquina del cubo. Si suponemos que el borde de la pieza cuadrada de papel está en ningún lugar de cortar a través de estas tres caras, a continuación, en el proceso de plegado es inevitable "doble cobertura" cerca de la esquina. Este desperdicio de papel, por la concavidad, un monto mínimo de $1/2$ de una unidad de área. Si suponemos que sólo una cara, $F$, tiene un borde del papel cruce, orientar $F$ a la parte superior. A continuación, las otras cuatro caras que rodea la parte inferior de la cara cada satisfacer el criterio anterior, y podemos perder, al menos, $2$ unidades de papel (que corresponden a las cuatro esquinas inferiores). Esto implica que se deben utilizar al menos 8 unidades de papel para cubrir el cubo, si una cara es atravesado por un borde del papel.

Si no se enfrenta son perturbados de esta manera, luego de un similar obligado sostiene. Ya sea su obligación es óptima o no existe un más eficiente, en el que entre el 2 y el 6 caras satisfacer el borde del papel.

Espero que esta ayuda como una técnica. (Parece probable que el 8 es óptima.)