¿Por qué hay dos promedios diferentes para la energía cinética en un oscilador armónico?

Question

Pregunta:

Una partícula de masa m se ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud y frecuencia de v. El promedio de la energía cinética durante su movimiento desde la posición de equilibrio hasta el final?

Problema:

Para intentar encontrar la respuesta que he utilizado la integración para encontrar el valor promedio de la velocidad de tiempo dependiente de la función de

$$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2{\omega t},$$

de $0$ a $\frac{\pi}{2\omega}$, estoy recibiendo $\pi^2ma^2\nu^2$, lo cual es correcto.

Sin embargo, cuando el uso de la velocidad como una función de la posición

$$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mw^2(A^2-x^2)$$

de $0$ a $A$ estoy recibiendo una respuesta diferente, $\frac{1}{3}\pi^2ma^2\nu^2$.

¿Por qué es así?

Answer 1

Aunque tu pregunta es con la etiqueta "tarea-y-ejercicios", es claro que no estamos pidiendo que nos ayudará a obtener la respuesta correcta, pero que están criando a un lado de la cuestión. Así que no veo ningún problema en ofrecer una respuesta.

El tiempo promedio de $\frac{1}{2}mv^2$ es de hecho diferente de la posición promedio de la misma cantidad. Hay una diferente ponderación. En realidad, cualquier valor de la media puede ser definida para incluir una función de ponderación, pero a menos que se especifique explícitamente, se suele asumir una ponderada media. Sin embargo, para funciones continuas de una variable, la fórmula para la media implica integrar con respecto a esa variable, lo que implica que se han hecho algunas elección sobre el peso.

En tu caso, tienes dos candidatos obvios. Imaginar muestreo $N$ valores discretos de la energía cinética a intervalos regulares de tiempo, y un promedio de las mismas sumándolos y dividiendo por $N$. Ahora imagine que usted muestra el $N$ valores espaciados regularmente posiciones, y de nuevo un promedio de ellos de la misma manera. Usted no esperaría que para obtener el mismo resultado: la partícula se está moviendo mucho más rápido a través de la posición $x=0$, por lo que gasta mucho menos tiempo en torno a que la posición de las extremidades de la oscilación. El tiempo promedio se hará hincapié en las velocidades más bajas, en comparación con la posición de la media.

Explícitamente, podemos escribir \begin{align*} \langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_x &= \frac{\int_0^A \left(\tfrac{1}{2}mv(x)^2\right) dx }{\int_0^A dx} \\ \text{and}\quad \langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_t &= \frac{\int_0^{\pi/2\omega} \left(\tfrac{1}{2}mv(t)^2\right) dt }{\int_0^{\pi/2\omega} dt} \end{align*} Si hacemos un cambio de variables en la primera ecuación, el uso de $dx = v\, dt$, podemos ver el peso que aparecen explícitamente $$ \langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_x = \frac{\int_0^{\pi/2\omega} v(t)\, \left(\tfrac{1}{2}mv(t)^2\right) dt }{\int_0^{\pi/2\omega} v(t)\, dt} $$ El tiempo promedio está dada por una expresión similar, pero sin la $v$ ponderación en el numerador y el denominador. La posición promedio ha dado más peso a la mayor velocidad. (Por cierto, si integramos a lo largo de un período completo, tenemos que tomar un poco más de cuidado con el signo del factor de ponderación)

Ya sea el promedio es "correcto". Que uno es querido? Así, el contexto de la pregunta que deberíamos hacernos esta claro, pero probablemente voy a hacer el mismo razonamiento que se hizo, y supongo que el tiempo promedio de la energía cinética es probable que sean más relevantes.