Demostrando que $\sqrt{1 + x^2}$ no es una función polinómica

Question

La tarea encomendada es la siguiente:

Demostrar que $ f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(x) = \sqrt{1 + x^2} $ no es una función polinómica.

Intenté este enfoque - si $f(x)$ es un $n$ -de grado, entonces el $(n+1)$ -La primera derivada es igual a 0 y estaba tratando de determinar la $k$ -derivada de $f(x)$ (y demostrar que difiere de 0 para cualquier $k$ ) pero sin éxito. Desde $f(x)$ es continua y está definida sobre todo el dominio de R, no tengo ni idea de cómo continuar. ¿Alguna idea?

Answer 1

Supongamos que es un polinomio, entonces $$\sqrt{1+x^2}= ax^n+...+b$$

así que $$1+x^2= (ax^n+...+b)^2 = a^2x^{2n}+...$$

Como los polinomios son iguales si tienen el mismo grado, tenemos $2=2n$ así que $n=1$ y ahora tenemos $$ 1+x^2 = (ax+b)^2 = a^2x^2+2abx+b^2 \implies ab = 0$$ una contradicción, ya que $|a|=|b|= 1$ .

Answer 2

Supongamos que $f$ es un polinomio, es decir $$f(x)=\sqrt{1+x^2}={a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}=p(x)$$ para algunos $n$ . Entonces $$\frac{f(x)}{x}=\frac{p(x)}{x}$$ para todo lo que no sea cero $x$ . Por lo tanto, $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1$$

lo que significa $p(x)$ y $x$ son polinomios del mismo grado, ¡una contradicción!

Answer 3

Sugerencia alternativa: siguiendo la idea del OP de utilizar derivados, tenga en cuenta que $\,f(x) \cdot f'(x) = x\,$ pero los únicos polinomios que satisfacen esa identidad son $\,f(x)=\pm x\,$ ( ¿Por qué? ).

Alternativamente, demuestre que no existe ningún polinomio $\,f\,$ tal que $\,f^2(x)=x^2+1\,$ .

Answer 4

Otra demostración:

Un polinomio de grado uno o superior cuando se eleva al cuadrado, debe dar como resultado un polinomio que tiene todas sus raíces dobles o más que dobles.

$f ^ 2 = x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i)$

Eso tiene dos raíces pero no son iguales. Y por el teorema fundamental del álgebra, esa factorización es única.

Por tanto, f no puede ser un polinomio.

Answer 5

El límite de la función $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito es $x$ . $$\lim_{x\to\infty} f(x) = x$$

Por lo tanto, la función $f(x)$ es un polinomio de primer grado o no es un polinomio.

También, $f ^ 2$ debe ser $x ^ 2 + 1$ .

Los polinomios de primer grado al cuadrado son simplemente $x ^ 2$ o tener un componente $x$ distinto de cero: $$ (x+a)^2 = x^2 + 2ax +a^2 $$

Por lo tanto, $f (x)$ no es un polinomio de primer grado ( $f^2$ no tiene $x$ componente, y no es $ x^2 $ ).

Y como no puede tener más grados, $f (x)$ no es un polinomio.