¿Es racional o irracional?

Question

Sabemos que $\pi$ e $e$ son trascendentales números. Aquí $\sin(x)$ es una verdadera función trigonométrica. Sabemos que $\sin(\pi)=0$ , que es racional. Ahora me estoy preguntando para saber que, si $\sin(e)$ es racional o irracional. Además, si es irracional, entonces, si $\sin(e)$ es trascendental.

Answer 1

** comentario **
Mark dice que el uso de Schanuel de la conjetura. Aquí está.

Sabemos $e$ es real y distinto de cero, así que los dos números de $ie$ e $1$ son linealmente independientes sobre los racionales. De Schanuel de la conjetura, llegamos a la conclusión de que el grado de trascendencia $$ \mathbb Q(es decir,1,e^{ie},e^1) $$ es, al menos, $2$. Pero $1$ es algebraica, y $ie, e$ son algebraicamente, así que llegamos a la conclusión de que $e^{ie}$ es trascendental. Ahora $$ \sen e = \frac{e^{ie}-e^{-ie}}{2} = \frac{1}{2}\left(e^{ie} - \frac{1}{e^{ie}}\right) $$ así que si $\sin e$ fueron algebraicas, entonces la solución de una ecuación cuadrática concluiríamos que $e^{ie}$ sería algebraicas. Por lo tanto, $\sin e$ es transcentental.

Por supuesto, Schanuel la conjetura es sólo una conjetura...

Answer 2

Información:

• He quitado mi respuesta primaria
• Ya he respondido a mis propias (recompensa) pregunta - respuesta: No, ejemplo: $sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

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La definición de las $sine$ Los valores de ejemplo:

La definición y el uso práctico de radian: Círculo con el radio de $r=1$ (unidad de longitud) El tema $sin(e)=sin(\pi-e)$ ,

por lo tanto

I. Más estricto:

para una hipotenusa con la eslora de $1$ necesitamos mostrar que $h_e$es (ir)racional.

(La creación de un ángulo recto del triángulo con una hipotenusa$\neq1$ y un agle de $\pi-e$ requiere, por definición, para comprobar los lados de relación)

II. Menos estricto:

Ángulo de hechos (en radianes): $$1<\frac{\pi}{3}<e-\frac{\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{3}<\frac{1}{2}[1+e-\frac{\pi}{2}]\implies\frac{\pi}{3}\approx\frac{1}{2}[1+e-\frac{\pi}{2}]$$ $$\implies e\approx\frac{7\pi}{6}-1$$

Por lo tanto: $$pecado(e)\aprox pecado(\frac{7\pi}{6}-1) $$ Donde

$$sin(\frac{7\pi}{6}-1)=sin(\frac{7\pi}{6})cos(1)-sin(1)cos(\frac{7\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(1)-\frac{cos(1)}{2} $$

De acuerdo a este foro (prueba de independencia de pan): $sin(1)$ e $cos(1)$ son irracional $\implies$ incluso si $\frac{\sqrt{3}}{2}sin(1)$ es racional - la segunda parte es todavía irracional .

Conclusión:

Con un 98% de cambio : $sin(e)$ es irracional.

PS: mejor aproximación: $e\approx\frac{7\pi}{6}-0.947$ o $e\approx\frac{7\pi}{6}-\frac{3\pi}{10}=\frac{13\pi}{15}$ ;($=156^{\circ}\implies sin(150^{\circ}+6^{\circ})$ que es irracional (ayuda))