Muestran que 7 es un residuo cuadrático para cualquier p principal de la forma 28 k + 1 y 28 k + 3.

Question

Muy interesante la teoría de los números pregunta, que creo que debe ser razonablemente recta hacia adelante, pero me parece que no puede descifrarlo.

Dicen que el 7 es una ecuación cuadrática de residuos para cualquier primer p de la forma 28k + 1 y 28k + 3.

Ahora, yo sé que un residuo cuadrático $a$ (mod m) significa que no existe $x$ tal que $x^2\equiv a$(modm). Así que si 7 es una ecuación cuadrática de residuos mod 28k+1 o 28k+3, a continuación, $x^2\equiv 7$ (mod 28k+1 o 28k +3). Pero estoy seguro de cómo hacer frente a este problema. Tal vez yo podría decir que para el primer caso, $x^2\equiv 6$ (mod 28k) $\equiv$ 3 (mod 14k)??

O tal vez yo soy el que va sobre este mal.

También sé que las leyes de la reciprocidad cuadrática, por lo que necesito mostrar $(\frac{7}{28k+1})$ =1, y, asimismo, para 28k +3

Ayuda sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

Sugerencia: si$p=28k+1$ entonces$\frac{7-1}{2}\cdot \frac{p-1}{2}$ es par. Si$p=28k+3$ entonces$\frac{7-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}$ es impar.

Answer 2

El uso de la Reciprocidad Cuadrática Theorem,

$$\left(\frac p7\right)\left(\frac 7p\right)=(-1)^{\frac{3(p-1)}2}$$

Ahora, si $p\equiv1\pmod4,\left(\frac p7\right)\left(\frac 7p\right)=1\iff \left(\frac 7p\right)=\left(\frac p7\right)$

Ahora, $(\pm1)^2\equiv1\pmod 7,(\pm2)^2\equiv4,(\pm3)^2\equiv2\implies p$ tiene que ser $1,2,4\pmod 7$

$p\equiv1\pmod4$ $p\equiv1\pmod7\implies p\equiv1\pmod {4\cdot7}$

El uso de la CRT, podemos mostrar

$p\equiv1\pmod4$ $p\equiv2\pmod7\implies p\equiv9\pmod {4\cdot7}$

$p\equiv1\pmod4$ $p\equiv4\pmod7\implies p\equiv25\pmod {4\cdot7}\equiv-3$

Ahora, si $p\equiv-1\pmod4,\left(\frac p7\right)\left(\frac 7p\right)=-1\iff \left(\frac 7p\right)=-\left(\frac p7\right)$

y $p$ tiene que ser $3,5,6\pmod 7$

$p\equiv-1\pmod4\equiv3$ $p\equiv3\pmod7\implies p\equiv3\pmod {4\cdot7}$

$p\equiv-1\pmod4$ $p\equiv6\pmod7\equiv-1\implies p\equiv-1\pmod {4\cdot7}$

El uso de la CRT, podemos mostrar

$p\equiv-1\pmod4$ $p\equiv5\pmod7\implies p\equiv19\pmod {4\cdot7}\equiv-9$

Por eso, $7$ es una ecuación cuadrática de residuos para cualquier prime $p\equiv\pm1,\pm3,\pm9\pmod{28}$