Encuentra: $$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}k^{r}$$
Para r=0 la suma es obviamente $2^{n}$ .
Para r=1 la suma es $n2^{n-1}$ .
Para r=2 la suma es $n(n+1)2^{n-2}$ .
Esto es lo que he probado:
$$\frac{d(1+x)^{n}}{dx}=n(1+x)^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^{2}+\cdots+n\binom{n}{n}x^{n-1}$$
$$\frac{d[x\cdot n(1+x)^{n-1}]}{dx}=\binom{n}{1}+2^{2}\binom{n}{2}x+3^{2}\binom{n}{3}x^{3}+\cdots+n^{2}\binom{n}{n}x^{n-1}$$
Así que si continuamos así y ponemos x=1 obtendremos nuestro resultado.Sin embargo no puedo generalizar esto.
Creo que la respuesta tiene algo que ver con los números Stirling del segundo tipo.
Otra forma de presentar esta pregunta: Encontrar $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{r}$ tal que $$k^{r}=A_{1}k+A_{2}k(k-1)+A_{3}k(k-1)(k-2)+\cdots$$
Si alguien puede responder a la segunda pregunta puedo resolver la primera.
