Si este polinomio es a lo sumo$n$, sé que existe esta medida, pero no estoy seguro de si existe$\mu$ para cada polinomio.
Respuestas
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Como cada medida compleja es de variación total finita, el funcional
$$ C ([0,1]) \ a \ Bbb {C}, f \ mapsto \ int f \, d \ mu $$
se limita a la sup-norma, por lo tanto a la convergencia uniforme de la contienda continua.
Ahora deja $p_n (x)= (1-x)^n /n$. Entonces$p_n \to 0$ uniformemente en$[0,1]$, por lo tanto
$$ \ int p_n \, d \ mu \ a 0, $$
Pero$p_n '(0)= -1$ para todos$n$. Por lo tanto, no hay tal medida.
ray247
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Deje $f(x)=a_0+a_1x\cdots +a_{n}x^{n}, n\ge 1$. A continuación, por la linealidad tenemos $$ \int fd\mu=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\int x^{i}d\mu=a_{1}\int xd\mu=a_{1} $$ y esto es porque $$ \frac{d}{dx}|_{0}x^{i}=0, i\no= 1 $$ Por lo tanto, la medida de $\mu$ puede ser visto como un funcional lineal dada por $$ \int_{[0,1]}\sum^{n}_{i=0}a_{i}x^{i}d\mu=a_{1},\forall n $$ Me dicen que este no es un funcional lineal continua en el espacio de todos los polinomios en $[0,1]$. Si $\mu$ es continua tendríamos $$ \existe Una, |f'(0)|\le de a|f|_{\max} $$ Pero esto es imposible porque podemos construir la secuencia de polinomios tales que $$ |f_{n}'(0)|\ge 1, |f_{n}|_{\max}\rightarrow 0 $$ Explícitamente la construcción de esta toma un poco de trabajo, y no estoy seguro de si mi construcción es óptimo. Deje $g_{n}$ ser una secuencia de funciones diferenciables en $[0,1]$ tal que $|g_{n}(0)'|\ge 1+\frac{1}{n}$ todos los $n$, e $|g_{n}|_{max}\rightarrow 0$. Esto se puede hacer geométricamente. Luego nos aproximado de cada una de las $g_{n}$ por una secuencia de polinomios $f^{i}_{n}$ a nivel mundial, tales que $|f'(0)^{i}_{n}-g'(0)_{n}|\le \frac{1}{2i}$, $|f^{i}_{n}-g_{n}|_{max}\rightarrow 0$. Esto se puede hacer por Weistrauss teorema de aproximación al trabajar con $g_{n}$'s de derivados, uno por uno. Ahora tomando la diagonal secuencia $f^{n}_{n},n\in \mathbb{N}$ la contra-ejemplo.
