¿Por qué este mapa universal en una prueba del lema co-Yoneda es realmente natural?

Question

Estoy tratando de demostrar que cada presheaf es un canónica colimit de representable presheaves mediante la construcción de una limitación de cocone directamente (soy consciente de que hay más elegante pruebas, pero esto es más de un ejercicio).

La mayor parte de la prueba está bien, pero estoy teniendo problemas para entender por qué un determinado mapa es realmente natural.

Para fijar la notación, tomar una pequeña categoría de $\mathbf{C}$ y deje $\mathbf{y} : \mathbf{C} \rightarrow \widehat{\mathbf{C}}$ denotar la Yoneda de incrustación y $\int P$ la categoría de elementos de $P$. Nos proponemos demostrar que la $P \cong \text{colim} \left( \int P \xrightarrow{\pi_P} \mathbf{C} \xrightarrow{\mathbf{y}} \widehat{\mathbf{C}} \right)$.

La omisión de la mayoría de los detalles, vamos a $\left( h_X \xrightarrow{\alpha^{X,x}} P \right)_{(X, x) \in \int P}$ ser el límite cocone. ($\alpha^{X,x}$ es simplemente definida como la transformación natural correspondiente a $x$ bajo la Yoneda correspondencia), y deje $\left( h_X \xrightarrow{\beta^{X,x}} Q \right)_{(X,x) \in \int P}$ ser otro cono.

Uno de referencia que define el conjunto de mapa de $\gamma : P \rightarrow Q$ dejando $\gamma_X(x)$ ser precisamente el elemento de la $Q(X)$ que $\beta^{X,x}$ corresponde a la virtud de la Yoneda correspondencia. Explícitamente, $\gamma_X(x) = \beta^{X,x}_X(1_X)$.

Esto parece perfectamente natural (como en "no hay opciones arbitrarias"), pero no veo rigurosamente por qué es una transformación natural. Obtenemos los siguientes diagramas para algunos $f : X \rightarrow Y$.

Y no veo por qué los dos valores en la parte superior derecha debe ser igual. He tratado de escribir cada conmutativo el diagrama puedo pensar en mi disposición involucrando a los actores, pero me parece que no puede obtener el derecho de los subíndices en los lugares correctos. No es aparentemente sencillo ¿por qué esta transformación debe ser natural.

Por supuesto, como todas las cosas Yoneda, probablemente se cae de algo simple y fundamental que simplemente estoy perdiendo. ¿Cuál es el correcto razonamiento para demostrar que esta transformación es natural?

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Por último, no estoy seguro de por qué el mapa de $\gamma$ es único. Es fácil demostrar que los $\gamma \circ \alpha^{X,x} = \beta^{X,x}$, pero para mostrar que $\gamma$ es único significaría para mostrar que $\beta^{X,x} = \gamma \circ \alpha^{X,x} = \delta \circ \alpha^{X,x}$ implica que el $\gamma = \delta$, lo que equivale a mostrar que la $\alpha^{X,x}$ es un epimorphism, que no parece ser un sistema automático de conclusión. ¿Por qué debería este mapa sea único?

Answer 1

Así que lo que quieres es demostrar que $$\beta_X^{X,P(f)(y)}(1_X)=Q(f)(\beta_Y^{Y,y}(1_Y)).\tag{1}\label{1}$$ Para ello, puede utilizar el hecho de que los mapas de $(\beta^{X,x})_{(X,x)\in \int P}$ formar un cocone, lo cual nos indica que, desde el $f$ define un mapa de $(X,P(f)(y))\to (Y,y)$$\int P$, usted tiene $\beta^{X,P(f)(y)}=\beta^{Y,y}\circ \mathbf{y}(f)$. En particular, la mano izquierda en \eqref{1} es igual a $$\beta_X^{Y,y}(\mathbf{y}(f)_X(1_Y))=\beta_X^{Y,y}(f).$$

Además, se puede utilizar el hecho de que $\beta^{Y,y}:h_X=\mathbf{C}(\_,X)\Rightarrow Q$ naturales : esto le indica en particular que $Q(f)\circ \beta^{Y,y}_Y=\beta^{Y,y}_X\circ h_Y(f)$, y por lo tanto el lado derecho de \eqref{1} es igual a $$\beta^{Y,y}_X(h_Y(f)(1_Y))=\beta_X^{Y,y}(f).$$ Esto confirma que los dos lados son iguales.

Como para la unicidad, supongamos que $\delta$ es una transformación natural $P\Rightarrow Q$ tal que $\delta\circ\alpha^{X,x}=\beta^{X,x}$ todos los $(X,x)\in \int P$. Tenga en cuenta que, por definición de la cocone $(\alpha^{X,x})_{(X,x)\in \int P}$ y gracias a la Yoneda lema, tenemos $\alpha^{X,x}_X(1_X)=x$ todos los $X$ y todos los $x\in P(X)$. En particular, $$\delta_X(x)=\delta_X(\alpha^{X,x}_X(1_X))=\beta_X^{X,x}(1_X)=\gamma_X(x),$$ por lo tanto $\delta=\gamma$.