Para una variedad 2D compacta, ¿existe un% simétrico sin rastro?$\sigma_{ab}: \nabla_{[a}\sigma_{b]c} = 0?$

Question

Deje $S$ ser un liso, compacto, de 2 dimensiones del colector con un positivo-definida de Riemann métrica $g_{ab}$ compatible derivada covariante $\nabla_a$.

Quiero mostrar que no existe un único traceless, simétrica del tensor $\sigma_{ab}$ satisfactorio

$$\nabla_{[a}\sigma_{b]c}=0.$$

Esta pregunta está relacionada con el Teorema 5 en Geroch del trabajo Asintótica de la Estructura del Espacio-Tiempo. Por desgracia, no puedo encontrar una versión libre de la misma. Pero ya he traducido la parte esencial del Teorema 5. En Geroch de la prueba, afirmó que $\sigma_{ab}=0$, por lo que la singularidad está probado. Su argumento puede ser dada a continuación:

Deje $\xi_a$ ser cualquiera de conformación de la Matanza campo de vectores en $S$ tal que

$$\nabla_{(a}\xi_{b)}=kg_{ab}$$

para algunos la función$k$$S$. Formar un nuevo tensor $\sigma_{ab}\xi_c$ por producto tensor, y evaluar,

$$\nabla_{[a}(\sigma_{b]c}\xi_d)=\sigma_{c[b}\nabla_{a]}\xi_d.$$

Contrato de ambos lados con $g^{cd}$ a obtener,

$$\nabla_{[a}(\sigma_{b]c}\xi^c)=\sigma_{c[b}(\nabla_{a]}\xi_d)g^{cd}.$$

Aquí, él sugirió que uno escribe $\nabla_{a}\xi_d$ como una suma de sus simétrica y antisimétrica partes. Usando la propiedad de ser una de conformación de la Matanza de vectores, uno puede mostrar que la simétrica parte da $\sigma_{c[b}kg_{a]d}g^{cd}=k\sigma_{[ab]}=0$ $\sigma$ es simétrica. Para la parte antisimétrica, dijo que sería un múltiplo de $g^{cd}\sigma_{cd}$, que es cero, también.

Pero me encuentro con algún problema con la parte antisimétrica. La parte antisimétrica no poseen ninguna propiedad en particular, así que realmente no puedo obtener su resultado.

Answer 1

La prueba para Geroch de la demanda se utiliza el hecho de que el colector es de 2 dimensiones. Gracias a @JamalS. En este caso, cualquier tensor antisimétrico, tales como $\nabla_{[a}\xi_{b]}$, es proporcional a la del elemento de volumen $\epsilon_{ab}$. Deje $\nabla_{[a}\xi_{b]}=\alpha\epsilon_{ab}$ para algunos la función$\alpha$$S$.

Vamos a considerar la contribución de $\nabla_{[a}\xi_{b]}$$\nabla_{[a}(\sigma_{b]c}\xi^c)$:

$\sigma_{c[b}(\nabla_{[a]}\xi_{d]})g^{cd}=\alpha\sigma_{c[b}\epsilon_{a]}{}^c$.

Ahora, elija una base ortonormales $\{(e_1)^a,(e_2)^a\}$ tal que $\epsilon_{12}=1$, e $\sigma_{11}+\sigma_{22}=0$ $\sigma_{ab}$ es traceless. Así que considere

$\sigma_{c[1}\epsilon_{2]}{}^c=\frac{1}{2}(\sigma_{11}\epsilon_2{}^1+\sigma_{21}\epsilon_2{}^2-\sigma_{12}\epsilon_1{}^1-\sigma_{22}\epsilon_1{}^2)=\frac{1}{2}(\sigma_{11}\epsilon_2{}^1-\sigma_{22}\epsilon_1{}^2)=\frac{1}{2}(\sigma_{11}+\sigma_{22})\epsilon_2{}^1=0$.

Esto completa la prueba.

Otro método es $\sigma_{c[b}\epsilon_{a]}{}^c=\beta\epsilon_{ab}$. Contratante ambos lados con $\epsilon^{ab}$ obtener $\beta=\alpha\sigma_{cb}g^{bc}/2=0$. Gracias @Valter Moretti!

Resulta que la dimensionalidad juega un papel importante en la demostración de Geroch de la reclamación, que me ignora por completo antes.