Mostrar que la ecuación geodésica es dada por $\ddot x^k +\Gamma_{ij}^k \dot x^i\dot x^j=0$

Question

Sé que $\gamma $ es una geodésica si y sólo si %#% $ de #% con esto, estoy tratando de volver a encontrar la ecuación de $$\nabla _{\dot \gamma}\dot\gamma =0.$ $ pero no conseguirlo.

Que $$\ddot x^k +\Gamma_{i\ell}^k \dot x^i\dot x^\ell=0,$ coordenada local. Entonces $x^1,...,x^n$ y $\gamma (t)=(x^1(t),...,x^n(t))$ (Convenio de Einstein). Entonces, $\dot\gamma (t)=\dot x^i(t)\frac{\partial }{\partial x^i}$ $

pero no consigo la ecuación correcta. ¿Alguna idea?

Answer 1

En primer lugar, recuerde que los argumentos de $\nabla$ debe ser tangente campos en el colector, la cual $\dot \gamma$ no es, por lo tanto, primero se debe dar un riguroso sentido a la notación $\nabla _{\dot \gamma} \dot \gamma$. Una vez que hemos aclarado esto, el resto vendrá de forma natural, sin ningún esfuerzo.

Deje $\gamma : [a,b] \to M$ y deje $t_0 \in [a,b]$. Deje $p = \gamma (t_0)$. Deje $U$ ser algún pequeño barrio de $p$ tal que la porción de la $\gamma$ que se queda dentro de $U$ no tiene auto-intersección, y deje $X \in \mathcal X (U)$ ser un campo que se extiende $\dot \gamma$, es decir,$X _{\gamma (t)} = \dot \gamma (t)$. A continuación,$\left( \nabla _{\dot \gamma} \dot \gamma \right) (t_0)$$(\nabla _X X) _p$.

Con esto, las cosas se vuelven fáciles debido a la condición de $\nabla _{\dot \gamma} \dot \gamma = 0$ expande como:

$$0 = \nabla _X X = \nabla _{X^i \parcial _i} (X^j \partial _j) = X^i \nabla _{\partial _i} (X^j \partial _j) = X^i \Big (\nabla _{\partial _i} X^j) \partial _j + X^j (\nabla _{\partial _i} \partial _j) \Big) = \\ X^i \Big (\partial X _i^j) \partial _j + X^j \Gamma _{ij} ^k \partial _k \Big) = (X^i \parcial _i) (X^j) \partial _j + \Gamma _{ij} ^k X^i X^j \partial _k = \Big( X (X^k) + \Gamma _{ij} ^k X^i X^j \Big) \partial _k ,$$

lo que implica que

$$\tag {#} X (X^k) + \Gamma _{ij} ^k X^i X^j = 0 \; \forall k .$$

Aviso ahora que para cualquier liso $f$,

$$X(f) (p) = \textrm d f (X) (p) = \textrm d _p f (X_p) = \textrm d _{\gamma (t_0)} f (\dot \gamma (t_0)) = \frac {\textrm d} {\textrm d t} \Bigg| _{t = t_0} f \circ \gamma ,$$

así

$$X(X^k) (p) = \frac {\textrm d} {\textrm d t} \Bigg| _{t = t_0} X^k \circ \gamma = \frac {\textrm d} {\textrm d t} \Bigg| _{t = t_0} \dot \gamma ^k = \ddot \gamma ^k (t_0) ,$$

por lo tanto, sobre la evaluación en $p$, $(\#)$ se convierte en

$$\ddot \gamma ^k (t_0) + \Gamma _{ij} ^k (\gamma (t_0)) \ \dot \gamma ^i (t_0) \dot \gamma ^j (t_0) = 0 ,$$

que al momento de la expulsión de los argumentos que se convierte en la deseada

$$\ddot \gamma ^k + (\Gamma _{ij} ^k \circ \gamma) \ \dot \gamma ^i \dot \gamma ^j = 0 .$$

De todo este dolor que hemos pasado fue requerido por el hecho de que $\nabla _{\dot \gamma} {\dot \gamma}$ no obedece a la habitual manipulación algebraica de las reglas como $\nabla _X Y$. (Por ejemplo, ¿qué haría usted de $\nabla _{\partial _i} \dot \gamma ^j$, dado que el $\dfrac {\partial \dot \gamma ^j} {\partial x_i}$ no tiene ningún sentido, ¿cómo derivar una cosa que depende de $t$ con respecto a las variables $x_1, \dots, x_n$?)

Answer 2

Reconsiderar su línea $$ 0=\nabla _{\dot \gamma (t)}\dot \gamma (t)=\nabla _{\dot x^i \frac{\partial }{\partial x^i}}\dot x^\ell \frac{\partial }{\partial x^\ell}=\dot x^i\underbrace{\frac{\partial x^\ell}{\partial x^i}}_{=\delta_{i\ell}}\frac{\partial }{\partial x^\ell}+\dot x^i\dot x^\ell \underbrace{\nabla _{\frac{\partial }{\partial x^i}}\frac{\partial }{\partial x^\ell}}_{=\Gamma_{i\ell}^m\frac{\partial }{\partial x^m}}. $$ En particular, creo que han perdido a un 'punto' en $$ \dot x^i\underbrace{\frac{\partial x^\ell}{\partial x^i}}_{=\delta_{i\ell}}\frac{\partial }{\partial x^\ell}, $$ que debe ser $$ \dot x^i\underbrace{\frac{\partial \dot x^\ell}{\partial x^i}}_{}\frac{\partial }{\partial x^\ell}. $$