Muestra que$f_n\to f$ en$L^1(\mu)$ iff$\sup\limits_{A \in \mathcal M} \left| \int_{A} f_n d\mu - \int_{A} f d\mu \right| \rightarrow 0$

Question

Deje que$(X, \mathcal M, \mu)$ sea un espacio de medida,$f_n$,$f \in L^1 (\mu)$. Muestre que$\int_X \mid f_n - f\mid d\mu \rightarrow 0$ como$n\rightarrow \infty$ si y solo si$\sup_{A \in \mathcal M} \mid \int_{A} f_n d\mu - \int_{A} f d\mu \mid \rightarrow 0$ como$n\rightarrow \infty$.

Es fácil mostrar una dirección pero cómo mostrar la otra dirección, es decir, cómo mostrar$\int_X \mid f_n - f\mid d\mu \rightarrow 0$ como$n\rightarrow \infty$ dada la condición. ¡Gracias!

Answer 1

Supongo que usted quiso decir$n\rightarrow\infty$ en lugar de$n\rightarrow0$.

En primer lugar denota$g_{n}:=f_n-f$.

En segundo lugar, abrevie$\mu\left(h\right):=\int_{X}hd\mu$ para las funciones integrables$h$.

Solicita una prueba de$\mu\left(\left|g_{n}\right|\right)\rightarrow0$ en base de$s_{n}:=\sup\left\{ \left|\mu\left(g_{n}1_{A}\right)\right|\mid A\in\mathcal{M}\right\} \rightarrow0$.

Deje$A_{n}:=\left\{ g_{n}>0\right\}\in\mathcal M$ y$B_{n}:=\left\{ g_{n}<0\right\}\in\mathcal M$.

Entonces $\mu\left(\left|g_{n}\right|\right)=\mu\left(g_{n}1_{A_{n}}\right)+\mu\left(-g_{n}1_{B_{n}}\right)=\left|\mu\left(g_{n}1_{A_{n}}\right)\right|+\left|\mu\left(g_{n}1_{B_{n}}\right)\right|\leq2s_{n}$.

Por lo tanto,$s_n\rightarrow0$ implica que$\mu\left(\left|g_{n}\right|\right)\rightarrow0$