Tengo lo siguiente, donde$v$ es un vector $$ v \ cdot (v \ cdot \ nabla) v $$ que en notación de índice se convierte en$v_jv_id_iv_j$. Quiero aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a esto, que viene dada por $$ | \ sum_nA_nB_n | ^ 2 \ leq \ sum_nA_n ^ 2 \ sum_mB_m ^ 2 $$ ¿Cómo puedo usar esto (que solo tiene un único índice de resumen en el LHS) en$v_jv_id_iv_j$, ¿cuál tiene dos índices?
Respuesta
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Asumiendo $\nabla$ no es un vector, pero un operador diferencial, y $v$ es una función, y para simplificar $n=3$, hay dos vectores involucrados: $$v=\begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\v_3\end{pmatrix} \text{ and } w := \begin{pmatrix} (v_1 \partial_x + v_2 \partial_y + v_3 \partial_z )v_1 \\ (v_1 \partial_x + v_2 \partial_y + v_3 \partial_z )v_2\\ (v_1 \partial_x + v_2 \partial_y + v_3 \partial_z )v_3\end{pmatrix}.$$
La aplicación de Cauchy-Schwarz para su producto escalar de los rendimientos
$$ \vert v \cdot (v \cdot \nabla)v \vert = \vert v \cdot w \vert\leq \Vert v \Vert \Vert w \Vert = \left(\sum_j v_j^2\right)^{1/2}\left(\sum_j ((v_1 \partial_x + v_2 \partial_y + v_3 \partial_z )v_j)^2\right)^{1/2}.$$
Estoy deliberadamente no el uso de una doble sumatoria aquí, pero si usted quisiera, usted podría reintroducir a la taquigrafía las filas de $w$, es decir, la segunda suma anterior.
Edit: a grandes rasgos, mantener la suma de más de $i$ fija a la segunda $v_j$, y hacer de Cauchy-Schwarz para $j$.
