Grupo de simetría del Tetraedro

Question

Ejercicio:

Encuentra el Grupo de Simetría de :

• El Tetraedro
• El Cubo
• La esfera con radio $r=1$ en $ \mathbb R^3$

Discusión :

Me cuesta entender y resolver ejercicios como este en mi curso de Álgebra y Aplicaciones. Por ejemplo, sé que la respuesta a la primera pregunta es $S_4$ a través de conferencias pero no sé cómo probarlo y la mayoría de las preguntas en línea/en línea giran en torno a las preguntas extendidas de estos y no estos. Lo siento por no intentarlo, pero realmente estoy tratando de entender cómo resolverlas y trabajar en estas preguntas. Agradecería cualquier ayuda, sugerencia o solución/discusión a fondo para ayudarme a entender cómo trabajo en estas.

Answer 1

Una prueba completamente "rigurosa" para estos no es tan trivial. En primer lugar, hay que saber que lo que realmente se quiere decir con grupo de simetría de cada uno de estos objetos es realmente el grupo de isomorfismos isométricos del objeto. En el contexto más general, si se tiene un espacio métrico $(X,d)$ entonces el grupo viene dado por el grupo de biyecciones $$ \phi:X\to X $$ con la propiedad de que $d(\phi(x),\phi(y))=d(x,y)$ .

Para el espacio euclidiano, se tiene el siguiente hecho agradable

Es un hecho: Cualquier isomorfismo isométrico del espacio euclidiano es afín , invertible y su mapa lineal asociado es ortogonal

Para los politopos y las esferas, esto implica que cualquier isomorfismo isométrico procede en realidad de una restricción de una matriz ortogonal. Dado esto, podemos demostrar lo siguiente:

Hélice: Dejemos que ${\rm Iso}(T)$ denotan el grupo de simetría del tetraedro $T$ . Tenemos un isomorfismo $${\rm Iso}(T)\cong S_4\;.$$

Prueba: Los vértices del tetraedro son todos equidistantes entre sí y esta distancia es la máxima entre dos puntos cualesquiera del tetraedro. Como las simetrías preservan la distancia, cualquier simetría debe permutar los vértices (que son cuatro). Esta asignación da un homomorfismo de grupo $g:{\rm Iso}(T)\to S_4\;.$

Tres de los cuatro vértices de $T$ también forman una base para el espacio euclidiano ambiente. Por tanto, cualquier permutación de los vértices determina un mapa lineal invertible en el espacio ambiente y (dado que estos vectores son todos equidistantes) este mapa debe ser ortogonal. La restricción de este mapa a $T$ conserva $T$ y por lo tanto determina una simetría. Esto define un homomorfismo de grupo $f:S_4\to {\rm Iso}(T)\;.$

Utilizando el hecho de que los mapas lineales están determinados por su valor en una base, es inmediato a partir de las asignaciones que $fg=gf={\rm id}$ de modo que esta asociación define un isomorfismo de grupos ${\rm Iso}(T)\cong S_4$ .

Te dejo los otros dos, pero la idea de cada uno de ellos es esencialmente la misma.

Answer 2

Aquí tienes algunas pistas.

En cuanto al cubo, véase esta respuesta He dado en una pregunta similar. El trabajo consiste en demostrar que lo que digo es cierto.

Con el tetraedro se puede hacer algo parecido. Si consideras el punto situado directamente en el centro del tetraedro y dibujas cuatro líneas, cada una de las cuales conecta un vértice del tetraedro con este punto central, observa cómo las rotaciones o los giros desplazan estas cuatro líneas.

Para la esfera, piense en los puntos de la esfera como vectores unitarios en $\mathbb{R}^3$ y una simetría de la esfera como matrices que desplazan estos vectores. Es decir, dado $v\in\mathbb{R}^3$ con $\|v\|=1$ para lo que las matrices $A$ ¿es cierto que $\|Av\|=1$ ?

Editar: Tal vez debería mencionar que debería ser explícito en cuanto a si está considerando o no mapas de inversión de la orientación. Diferentes ideas para calcular estos grupos pueden o no contar con estos mapas, y así puede haber confusión sobre por qué aparecen diferentes grupos para el mismo objeto, por ejemplo $A_4$ contra. $S_4$ para el tetraedro.

Answer 3

Ya que has identificado el curso como "Álgebra y Aplicaciones", quizás un argumento geométrico intuitivo sea lo suficientemente riguroso.

Para entender las simetrías del tetraedro regular, etiqueta los vértices $1,2,3,4$ . Entonces se conoce una simetría cuando se sabe cómo permuta los vértices, por lo que el grupo de simetrías es un subconjunto (de hecho un subgrupo) de $S_4$ . Si se mira bien el tetraedro se puede ver un plano de reflexión que intercambia $1$ y $2$ mientras se va $3$ y $4$ arreglado. Es evidente que existe un reflejo de intercambio para cada par de vértices (¡un argumento de simetría informal!). Dado que el $2$ -generan ciclos $S_4$ el grupo del tetraedro debe ser todo $S_4$ .

Si sólo quieres las simetrías propias (sin reflexiones) piensa en las rotaciones a través de un tercio de círculo sobre las altitudes del tetraedro. Mira lo que generan.

Para el cubo, numerar los vértices $1$ a través de $8$ . Si manipulas un cubo real deberías poder encontrar el $12$ permutaciones en $S_8$ que capturan todas las simetrías adecuadas. Si quieres también reflexiones debes encontrar otro $12$ .

Para la esfera, hay que volver al álgebra lineal y pensar en transformaciones lineales que conserven la longitud.