Informatica:

Question

$$ \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{(x^5+y^5)\ln(x^2+y^2)} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} $$ la respuesta es 0. ¿No parece entender cómo la respuesta es 0.I sabe que la primera parte es la 0 pero estoy confundido sobre cómo tratar con el logaritmo natural?

¿Por Teorema del apretón no es un buen método? $0

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta que dejando $x=\rho\cos(\theta)$ y $y=\rho\sin(\theta)$, tenemos que como $(x,y)\to(0,0)$ luego \left|\frac{(x^5+y^5)\ln(x^2+y^2) #% y $$ 0\leq %#%} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \right|\leq \frac{(|\rho\cos\theta|^5+|\rho\sin\theta|^5)|\ln(\rho^2) |} \leq \frac{\rho^5(1+1)|\ln(\rho^2) {\rho^4} |} {\rho^4}={4\rho|\ln(\rho) |}. ¿$$ Puede tomar desde aquí?

Answer 2

Por norma todos tenemos $|x|, |y|\le |(x,y)|$

entonces obtenemos %#% $ #%

Desde $$|x^5+ y^5|\le 2|(x,y)|^5$ y $\lim_{x\to 0}x\ln x = 0$ obtenemos, $\ln(x^2+y^2) = 2\ln|(x,y)| $ $

Answer 3

Bien, hagamos esto correctamente: usamos coordenadas polares $x=r\cos \phi$ y $y=r\sin \phi$. Vamos a intentar utilizar el teorema del sandwich (o restricción):

\begin{align} 0&\leq \left|\frac{(x^5+y^5)\ln(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}\right| \ &= \frac{r^5|\cos\phi + \sin\phi|\cdot|\ln r^2|}{r^4} \ &\leq r\cdot(1+1)\cdot2\cdot|\ln r| = 4r |\ln r|. \end {Alinee el} ahora tenemos que mostrar que $r|\ln r|\to 0$. Para esto utilizaremos el teorema de l ' hospital (nota que $|\ln r|=-\ln r$ % pequeña $r$):

\begin{align} &\lim{r\to 0} r |\ln r| = \lim{r\to 0} \frac{-\ln r}{\frac1r} = "-\frac\infty\infty"\ &\lim{r\to 0} \frac{-\frac1r}{-\frac1{r^2}} = \lim{r\to0} r = 0. \end {Alinee el} ya que el último límite converge, ambos límites son iguales y por lo tanto $r|\ln r|\to 0$ $r\to 0$. Y así, por el teorema del emparedado, el límite que pediste converge a $0$.