Motivos de la geometría hiperbólica

Question

¿Por qué hay que estudiar la geometría hiperbólica? Sólo conozco la motivación en la que se dan axiomas para la geometría euclidiana elemental y luego se empieza a preguntar si el axioma de las paralelas es necesario. Entonces ves que si niegas el axioma obtienes el espacio hiperbólico en lugar del espacio euclidiano. Pero si ésta fuera la única motivación, uno podría aprender la construcción del espacio y dejar de hacerlo. En cambio, se enseña en geometría elemental y diferencial y esto no puede ser sólo porque los teoremas son exóticos si se comparan con el caso euclidiano.

Estoy buscando sobre todo motivaciones matemáticas aquí, así que cuáles son las relaciones con otros campos, cuáles son los temas avanzados y tal. ¿Por qué la geometría hiperbólica es interesante para un matemático?

Answer 1

En primer lugar, debemos señalar que ya se ha formulado una pregunta muy similar aquí y se dieron varias respuestas interesantes. Pero como la pregunta sigue apareciendo, voy a aventurarme a sugerir que todavía puede haber espacio para una lista más completa de razones por las que la geometría hiperbólica es importante por derecho propio.

Es difícil saber por dónde empezar, porque hay muchas buenas razones para estudiar la geometría hiperbólica más allá de su evidente importancia histórica en el desarrollo de la geometría. Voy a empezar esta lista con algunas cosas que se me ocurren a mí; haré esta respuesta en la wiki de la comunidad para que otros puedan ampliarla o añadirla si se les ocurren otras cosas.

¿Por qué es importante la geometría hiperbólica?

1. Historia de las matemáticas: En primer lugar, sólo para completar, mencionaré la razón histórica. El descubrimiento de la geometría hiperbólica fue, en mi opinión, el segundo acontecimiento más importante de la historia de las matemáticas (el primero fue la introducción del método axiomático por parte de Euclides). Hasta el siglo XIX, todo el mundo pensaba en los axiomas como verdades evidentes sobre el mundo real, sobre las que se podía construir para derivar verdades menos evidentes. Desde el descubrimiento de la geometría hiperbólica, los axiomas se consideran suposiciones más o menos arbitrarias que pueden utilizarse para poner en marcha un sistema axiomático, y luego todo lo que se demuestre dentro de ese sistema es exactamente tan válido como los propios axiomas. Es el fundamento de la forma en que actualmente entendemos la verdad matemática. (He escrito más sobre esto en el prefacio y en el capítulo 1 de mi libro de texto de licenciatura Geometría axiomática .)
2. Análisis complejo: La geometría hiperbólica del disco unitario (o, equivalentemente, del semiplano superior) desempeña un papel fundamental en el análisis complejo. Por ejemplo, la Lemma de Schwarz-Pick dice que cualquier mapa holomorfo desde el disco unitario hacia sí mismo es una isometría de la métrica hiperbólica o una contracción estricta (que disminuye todas las distancias). Esto tiene importantes consecuencias para entender la naturaleza de los mapas holomorfos.
3. Geometría de las superficies: La mayoría de las superficies conectadas (todas menos el plano, el cilindro, el toro, la banda de Möbius, la botella de Klein, la esfera y el plano proyectivo) llevan una métrica riemanniana de curvatura negativa constante, que es, por tanto, localmente isométrica al plano hiperbólico. Además, todas estas superficies pueden ser realizadas como cocientes del plano hiperbólico módulo de grupos discretos de isometrías hiperbólicas.
4. Geometría de los Tres Moldes: El teorema de la geometrización dice que cada 3manifold cerrado puede ser cortado a lo largo de esferas y toros en un número finito de piezas, cada una de las cuales puede recibir una de las ocho posibles estructuras geométricas altamente simétricas. La más rica de estas estructuras es, con mucho, la geometría hiperbólica, que da cuenta de "la mayoría" de los tres colectores.
5. Cosmología: Los principales candidatos para modelar la forma del universo en su conjunto son los Modelos FLRW en el que la geometría espacial del universo es plana, esférica o hiperbólica. Cuál de ellas depende de la densidad media de materia y energía y del valor de la "constante cosmológica".
6. El último teorema de Fermat: La prueba de Wiles de Último teorema de Fermat hizo un uso esencial (e inesperado) de las formas modulares, que son funciones en el plano hiperbólico que satisfacen una propiedad de transformación específica bajo un determinado grupo discreto de isometrías hiperbólicas.
7. Arte: Esta lista no estaría completa sin mencionar los usos innovadores de la geometría hiperbólica en el arte de M. C. Escher .

Answer 2

+1) Azul, aquí hay que mirar un poco de historia. Ese postulado de las paralelas (que fue puesto de hecho como un axioma por Euclides) fue cuestionado por muchos por no ser un postulado en absoluto. De hecho, muchos matemáticos y otros científicos pensaron que debería haber sido un teorema en lugar de darse como una simple suposición. Al considerarlo como un teorema, en resumidas cuentas se reducía a varios casos que había que observar cuando se generaba la "prueba". Y resulta que para muchas rectas paralelas que pasaban por un punto dado, resultaba una superficie hiperbólica, y cuando ninguna recta paralela convenía, la superficie se convertía en una esfera. Y así surgieron muchas propiedades nuevas, una de ellas es que la suma de ángulos se relaciona con el área de un triángulo. Desafiar el postulado de las paralelas es otro gran ejemplo de que se abren nuevas puertas a mundos desconocidos. Un buen libro (hay varios) para leer sería : "Introduction to non Euclidean Geometry" de Wolfe (Dover publ).

Answer 3

Comparto la misma opinión de Imranfat.Imagínate que durante cerca de 19 siglos la geometría euclidiana fue la reina, sólo un cambio de más a menos en el lugar adecuado abrió la puerta a un nuevo mundo tan parecido y a la vez tan diferente y cautivadoramente bello. En el nuevo orden hay una parte familiar y una parte desconocida que exige tu atención intelectual y que mantiene la esperanza de nuevas investigaciones.

No hay una, sino una gran cantidad de novedades. La validez y el alcance posterior, incluso por encima de los tres modelos, esperan nuevos enfoques o desarrollos. Las nuevas y refrescantes definiciones de intersección de líneas y paralelas que eliminan una línea recta e introducen líneas curvas en su lugar con una validez totalmente reconocible.Todas las funciones trigonométricas pueden transformarse en funciones hiperbólicas. Los triángulos con exceso de ángulo entran en déficit.

Incluso su historia es interesante: el gran Gauss se lo guardó para sí mismo durante mucho tiempo hasta que su realidad tuvo que salir a la luz, su descubrimiento y frustraciones por parte de Bolyai, la distinción que hizo Riemann entre el infinito y el indefinido, el espontáneo grito de alegría de Gauss después de su disertación, el sólido trabajo de Beltrami que condujo a su firmeza, su modelo moldeado en papel maché con las puntas de la silla de montar incluso hoy en día el ganchillo de Daina Tamania se exhibe en el Smithsonian, etc.

Es difícil responder a las oportunidades de trabajo y a los dólares extra que se obtienen con ello, pero una preocupación por cualquier vía que te lleve la ciencia es buena. Sólo wroting en extemporánea ..

Teorema de Egregio de Gauss. Al apretar una semiesfera se ven los tres tipos de formas e incluso una cuarta, una forma no simétrica como un enorme grano de trigo sin simetría rotacional. Una línea curva en un cono sigue siendo recta cuando se abre en plano puede ser relevante para las superficies alabeadas.. Una mente hermosa que ve cualquier superficie isométricamente incrustada en una posible dimensión más profunda mucho más allá de una geometría lo que se ve a simple vista, la parte inconfundible de la geometría hiperbólica.

Answer 4

Creo que hay un uso para la geometría hiperbólica. Creo que algunas propiedades de la teoría de la relatividad especial se pueden averiguar a partir de propiedades de la geometría hiperbólica. También creo que hay gente que no ve ninguna utilidad a la geometría hiperbólica pero que quiere estudiarla de todos modos.

Aunque no solía ser el caso, ahora estoy interesado en estudiar mentalmente las matemáticas más generales por mi cuenta. Creo que en algún momento en el futuro, vendrá a mí muy naturalmente que cuando alguna vez una propiedad de algo podría no ser una propiedad tan insignificante en un cierto sentido que es probablemente más amplio que la mayoría de la gente considera significativa e incluye propiedades que no son útiles para saber, y esa propiedad puede realmente ser computada sin un número demasiado grande de cálculos, voy a ver y notar esa propiedad. Probablemente me encantará que eso sea algo natural. Yo mismo no estoy estudiando mucho la geometría hiperbólica en este momento. Sin embargo, algunas personas como yo podrían estudiar la geometría hiperbólica por diversión aunque no le vean ninguna utilidad.