Encuentre las condiciones precisas bajo las cuales tenemos$\|x+y\| = \|x\|+\|y\|$

Question

En$\mathbb{R}^n$ considere (la norma infinito)$\|x\|=\max|x(i)|$ donde$1\leq i\leq n$.

Encuentre las condiciones precisas bajo las cuales tenemos$\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$.

Gracias por tu ayuda. :)

Answer 1

Tenga en cuenta que$\operatorname{arg max}(|x|)=\operatorname{arg max}(|y|)$ es una condición necesaria para$\max|x_i+y_i|=\max|x_i|+\max|y_i|$. Aquí,$\operatorname{arg max}(|x|)= k$ tal que$\max(|x|)= |x_k|$

Ahora,$|x_k+y_k|=|x_k|+|y_k|$ . Entonces,$x_k$ y$y_k$ tienen el mismo signo o al menos uno de ellos es 0. En el último caso,$x=[0,\dots,0]$ o$y=[0,\dots,0]$

Answer 2

Si suma$n$ pares de números, el máximo de los resultados de$n$ es la suma de los máximos si tuviera que agregar estos dos máximos de manera precisa, y si tuvieran el mismo signo.