$\displaystyle\int_0^0\frac 1x\:dx$ ¿Está definida esta integral? Si está definida, ¿cuál es su valor?
Supongo que en el sentido de la teoría de Lebesgue, $\infty .0=0$ es decir, el valor $\infty$ asumido en un conjunto de medida $0$ .
Respuestas
¿Demasiados anuncios?En es definido, y tiene valor $0$ : escribir $I=\int_{0}^{0}\frac{dx}{x}=\int_{-1}^{1}\frac{\chi_{\{0\}}dx}{x}$ donde $\chi_{A}$ es la función indicadora del conjunto A, $\chi_{A}(x)=1$ si $x$ pertenece a $A$ y es $0$ de lo contrario. Ahora $\{0\}$ tiene medida de Lebesgue $0$ y fuera de $\{0\},\frac{\chi_{\{0\}}}{x}=0$ . Por lo tanto $I=\int_{-1}^{1}0=0$ . Así $I$ está definida, al menos en el sentido de Lebesgue.
Paramanand Singh
Puntos
13338
Tomaré el caso de la integral de Riemann porque la parte de Lebesgue está muy bien hecha por Noe Blassel.
La definición de Riemann $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ tiene la condición previa de que $f$ está limitada en $[a, b]$ . Esto requiere que $f$ debe definirse para todos los puntos de $[a, b]$ . Sin embargo, todavía podemos hablar de integrales de Riemann como $\int_{0}^{1}\sin(1/x)\,dx$ . ¿Cómo?
Obsérvese que las integrales de Riemann tienen la agradable propiedad de que el valor de la integral $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ no depende de los valores de $f$ en un número finito de puntos en $[a, b]$ . Así pues, definimos simplemente la función $f(x) = \sin (1/x)$ en $x = 0$ de cualquier manera arbitraria digamos $f(0) = k$ y la función permanece acotada en el intervalo $[0, 1]$ y como su única discontinuidad está en $x = 0$ la función es integrable de Riemann y la integral tiene sentido.
A continuación pasamos a la función $f(x) = 1/x$ en intervalo $[0, 0]$ . Aquí $f$ no está definido en el intervalo considerado. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de su integral a menos que la definamos en ese intervalo. Así que podemos definirla de cualquier manera estableciendo $f(0) = k$ y luego $f$ está limitada en $[0, 0]$ y la integral es igual a $0$ (si utilizamos sumas superiores/inferiores ambas son $0$ ).
Obsérvese que el argumento del caso anterior se aplica a cualquier función sobre cualquier intervalo de longitud $0$ y esperamos que la integral sea $0$ (mediante el enfoque de sumas superiores/inferiores). Por lo tanto, al estudiar las integrales de Riemann añadimos las siguientes definiciones adicionales :
1) Si $f$ es una función cualquiera, entonces definimos $\int_{a}^{a}f(x)\,dx = 0$ .
2) Si $f$ es integrable de Riemann en $[a, b]$ (con $a < b$ ) entonces definimos el símbolo $\int_{b}^{a}f(x)\,dx$ como $-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
Juntas, estas dos definiciones nos ayudan a escribir el siguiente teorema:
Teorema : Si $a, b, c$ son cualesquiera puntos situados en un intervalo cerrado $I$ en el que $f$ es integrable de Riemann, entonces $$\int_{a}^{b}f(x)\,dx + \int_{b}^{c}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx$$ independientemente de cualquier relación de orden entre $a, b, c$ .
¿Cómo hablamos de integrales como $sin(1/x)$ ? Esto no es comparable, a $\int 0/0dx$ ya que la anterior está acotada.
@gary: He explicado en mi respuesta que esas funciones se manejan fácilmente definiéndolas en puntos problemáticos de forma arbitraria.
No estoy de acuerdo, si he entendido bien su argumento. Usted puede manejar un producto veces una expresión acotada, ya que la partición $x_{i+1}-x_i$ que comprende un valor acotado puede hacerse indefinidamente pequeño, haciendo que ese valor individual en la suma de Riemann sea cero. El problema es distinto cuando se tiene algo como $ a\infty $ ya que , en la integración de Riemann ( a diferencia del caso de Lebesgue) $ 0 \times \infty$ no está definido.
1 votos
Riemann, Lebesgue o ¿a qué otro tipo de integral se refiere?
0 votos
La función $f(x) = 1/x$ está definido en todas partes excepto $x = 0$ . Dado que la definición de una función en un número finito de puntos no importa en la integración (tanto Riemann como Lebesgue), no importa que $1/x$ no está definido en $x = 0$ . Lo que importa aquí es que el intervalo de integración sea de longitud $0$ (también de medida $0$ ) y por tanto la integral es $0$ tanto en el sentido de Riemann como en el de Lebesgue.
1 votos
@Paramanand Singh ¿No le importa a Riemann el hecho de que f estalle hasta el infinito? Para la integral que defino en mi respuesta,cualquier suma inferior de Riemann será cero, pero las sumas superiores de Riemann no tendrán valores bien definidos, y si insistiéramos, la tomaríamos como infinita..
0 votos
@NoeBlassel: Por definición, la integral de Riemann sobre un intervalo de longitud $0$ es $0$ . Este hecho no tiene nada que ver con las sumas superiores inferiores de Riemann. Estas sumas aparecen cuando el intervalo de integración tiene longitud positiva finita.
0 votos
@NoeBlassel: No obstante podemos intentar introducir sumas de Riemann para intervalos de longitud $0$ también. En este caso sólo habrá una partición del intervalo $[a,a]$ y la suma superior e inferior será $0$ .
0 votos
@Paramanand Singh: de nuevo, debo insistir en que esto sólo es cierto para funciones acotadas. El criterio de Lebesgue establece la equivalencia entre la integrabilidad de Riemann de $f$ y i)acotación de $f$ ii)medida cero de los puntos de discontinuidad para $f$ . En nuestro caso ii) es obviamente cierto, pero no así para i)
0 votos
@NoeBlassel: la función está obviamente limitada en $[0,0]$ . No hay ningún problema en ese sentido.
0 votos
Si $f$ estaban limitadas en $[0,0]$ existiría $M\in\mathbb{R_+}$ tal que para todo $x\in[0,0]$ , $|f(x)|\leq M$ . Sin embargo, sólo hay una $x$ en $[0,0]$ , $0$ pero, ¿qué $M$ es tal que $|f(0)|\leq M$ ?
0 votos
@NoeBlassel: Voy a escribir una mi respuesta para evitar la discusión prolongada en el chat.