Yo estaba evaluando $\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}}$ utilizando la Tabla de Integrales.
Mi trabajo
Yo estaba evaluando $\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}}$ utilizando la Tabla de Integrales. He encontrado en la Tabla de Integrales integral que es similar a $\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}}$. La integral estaba hablando acerca de la es $$\int \frac{du}{u\sqrt{u^2+a^2}} = -\frac{1}{a} ln \left( \frac{a+\sqrt{u^2+a^2}}{u} \right)$$
Con eso en mente, es necesario modificar los $\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}}$ a parecerse a $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2+a^2}}$.
La modificación de ahora: $$\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}} = \int \frac{2dx}{2x\sqrt{4x^2+1}} = \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}}$$
La modificación integral para ser evaluados serían $\int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}}$.
Ahora obtención de la integral:
$$\int \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}} = \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}} = -2\left(\left(\frac{1}{(1)}\right) ln \left( \frac{(1)+\sqrt{(2x)^2+(1)^2}}{(2x)} \right) \right)$$ $$ \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}} = -2 ln \left( \frac{1+\sqrt{4x^2+1}}{2x} \right) $$ $$ \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}} = ln \left(\left( \frac{1+\sqrt{4x^2+1}}{2x} \right)^{-2} \right)$$ $$ \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}} = \frac{1}{ln \left(\left( \frac{1+\sqrt{4x^2+1}}{2x} \right)^2 \right)}$$ $$ \int \frac{2dx}{2x\sqrt{(2x)^2+(1)^2}} = ln \left( \frac{4x^2}{1+\sqrt{4x^2+1}}\right)$$
Así que...la integral de $\frac{dx}{x\sqrt{4x^2+1}}$$ln \left( \frac{4x^2}{1+\sqrt{4x^2+1}}\right)$. Pero en el libro que he usado, es $ln \left( \frac{x}{1+\sqrt{4x^2+1}}\right)$. Estaba tan cerca de mi respuesta, pero no sé donde metí la pata.
¿De dónde me lío?
