<blockquote>
<p>Que $A=\underbrace{11..1}_{2010}$. ¿Cuántos divisores tiene $111...1$?</p>
<p><strong>Problema original:</strong> Demostrar que $τ(A)>50$ (o $τ(A)<50$)</p>
</blockquote>
<p><strong>Mi trabajo hasta ahora:</strong></p>
<ul>
<li><p>Si $\tau(A) -$ el número de divisores de $A$ y $A=p_1^{\alpha_1}\cdotp_2^{\alpha_2}\cdot...\cdot p_n^{\alpha_n}$ y $\tau(A)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdot...\cdot(\alpha_n+1)$</p></li>
<li><p>Si $a=\underbrace{11..1}_{k}$ y $b=\underbrace{11..1}_{l}$y $l|k$ y $b|a$</p></li>
<li>$2010=2\cdot 3\cdot5\cdot67$. Entonces $\tau(A)\ge 2^4=16$</li>
</ul>
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una respuesta parcial: tenga en cuenta que $ A = \frac{\overbrace{99\cdots9}^{2010}}{9} = \frac{10^{2010} - 1} {10-1} $$ que es, $A = \frac{x^{2010} - 1}{x-1}$ $x = 10$. Puede aprovechar las muchas factorizaciones de $x^n - 1$, ya $n$ no es primer. Por ejemplo: $$ x ^ {2010}-1 = (x ^ {67}-1) (1 + x ^ {67} + x ^ {2\cdot 67} + \cdots x ^ {\cdot 29 67}) $$ esta bien confirma algunos de los resultados hasta ahora.
