Encontrar iguales sumas de funciones trigonométricas con restricciones

Question

Problema 63 del 2001 San Petersburgo Olimpiada Matemática, segunda ronda, 11 º grado:

¿Hay tres diferentes números $x, y, z$ $[0,\pi/2]$ tal que el % de números $\sin x$, $\sin y$, $\sin z$, $\cos x$, $\cos y$, $\cos z$ puede ser dividido en tres pares con sumas iguales?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad de cada una de $x$, $y$, $z$ se $\le\pi/4$, ya que si por ejemplo,$x\gt\pi/4$, entonces podemos reemplazar $x$ $\pi/2-x$ que no va a cambiar el set $\{\cos(x),\sin(x)\}$.

Así que ahora $0\lt x \lt y \lt z \le \pi/4$, y tenemos los siguientes pedidos:

$\sin(x)\lt\sin(y)\lt\sin(z)\lt\cos(z)\lt\cos(y)\lt\cos(x)$

Por lo tanto el único posible emparejamientos debe ser:

$A=\sin(x)+\cos(x)$

$B=\sin(y)+\cos(y)$

$C=\sin(z)+\cos(z)$

Con $A=B=C$ (cualquier otro tipo de enlace, hacer un lado más pesado, término por término).

Ahora nota: $f(t)=\sin(t)+\cos(t)$ es una función cóncava desde $\frac{d^2f(t)}{dt^2}=-\sin(t)-\cos(t)<0$$t \in (0,\pi/4)$.

Por lo que se deduce que el $B\gt \frac{A+C}{2}$.

Por lo que nunca puede ser igual.

Edit: Arreglado el fallo descubierto por Tom