¿Qué es $\pi_{31}(S^2)$?

Question

¿Qué es $\pi_{31}(S^2)$ - alta homotopy grupo de la 2-esfera ?

Esta pregunta tiene una física de la motivación:

1) Hay relaciones entre (2 y 3) de Hopf fibrations y (2 - y 3-) qbits (bits cuánticos) enredo, ver esta referencia : http://arxiv.org/pdf/0904.4925v1.pdf

2) tal vez no son las relaciones entre la clasificación de los qbits enredos y esfera homotopy grupos ?

3) Estamos interesados en la clasificación de 4-qbits enredos.

Answer 1

En general, encontrar el isomorfismo de la clase de mayor homotopy grupos de las esferas es extremadamente difícil problema. Afortunadamente, sin embargo, no parecen ser algunas de las técnicas disponibles para la baja dimensiones en las esferas que no están disponibles para el de dimensiones más elevadas esferas. En particular, parece que existe un isomorfismo entre el $\pi_n(S^2)$ y el co-núcleo de un homomorphism de la Brunnian trenza grupo en $n$ cadenas en el disco para el equivalente Brunnian trenza de grupo en la esfera. El homomorphism es inducida por la canónica geométrica de la incrustación de la disco en la esfera.

Es decir, que $f\colon D\rightarrow S^2$ ser canónica de la incrustación de la disco en la esfera y deje $C(n,D)$ $C(n,S^2)$ ser el espacio de configuración de $n$ puntos en los que el disco $D$ y en el ámbito $S^2$ respectivamente. Es bien conocido teorema que $\pi_1(C(n,M))$ es isomorfo a la pura trenza grupo en $n$ cadenas en el colector de $M$ $f$ induce un homomorphism $f_*\colon\pi_1(C(n,D))\rightarrow\pi_1(C(n,S^2))$ sobre la trenza de grupos.

Deje $BB_n\leq\pi_1(C(n,D))$ ser el subgrupo de Brunnian trenzas en el disco y, de manera similar deje $BB_N^{S^2}\leq \pi_1(C(n,S^2))$ ser el subgrupo de Brunnian trenzas en la esfera. Un Brunnian braid es un puro trenza tal que la eliminación de cualquier cadena deja el resto de la trenza isotópico a la identidad en $n-1$ cadenas. Podemos restringir $f_*$ a la Brunnian trenzas, y obtener así un homomorphism $f_*'\colon BB_n\rightarrow BB_n^{S^n}$. Para $n$ lo suficientemente grande (mayor de 3, creo), hay un isomorfismo $$\pi_n(S^2)\cong \mbox{coker}f_*'=BB_n^{S^2}/\mbox{Im}f_*'.$$

Este teorema se atribuye a Berrick, Cohen, Wong, Wu en su papel de Configuraciones, trenzas, y homotopy grupos.

Lo que hace de este teorema que tan útil es que reduce el problema difícil de encontrar homotopy grupos de la esfera de lo que es esencialmente computacional teoría de grupos. Esto es debido a que tenemos muy buen conocimiento de la disco y en el ámbito de la trenza de grupos gracias al trabajo hecho en los años 60, procedentes del análisis de la Fadell-Neuwirth fibrations entre la configuración de los espacios de $n$ puntos en un colector. No he hecho ningún computacional teoría de grupo antes, así que no sé si la identificación de la isomorfismo de la clase de las mencionadas cokernel es computacionalmente eficiente, pero al menos nos da un algoritmo conocido para el cálculo (es posible que la identificación de la Brunnian subgrupo de los respectivos trenza de grupos podría ser difícil).

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El siguiente es sólo para mantener una colección completa de la información que tenemos, y yo a no tomar el crédito para encontrar estas referencias.

Para aquellos que no han visto la cruz-publicado pregunta sobre MathOverflow Mark Grant da una referencia a un documento, el cual parece dar los cálculos de $\pi_i(S^3)$ todos los $i\leq 64$, que es naturalmente isomorfo al $\pi_i(S^2)$ adecuadamente un gran $i$ por el isomorfismo inducida por el hopf fibration:

Curtis, Edward B.,Mahowald, la Marca, La inestable Adams espectral de la secuencia de $S^3$, topología Algebraica (Evanston, IL, 1988), 125-162, Contemp. Math., 96, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1989.

En los comentarios, el OP también ofrece una referencia a un artículo en el que el $2$ parte principal de $\pi_{31}(S^3)$ es dado como isomorfo a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$:

Nobuyuki de la Aod, En la 2.Los componentes de la Inestable Homotopy Grupos de Esferas I, Proc. Japón Acad. La Ser. Una De Matemáticas. Sci. Volumen 53, Número 7 (1977), 215-218. (enlace)