La pregunta sobre la ecuación cuarteada que tiene las 4 raíces reales

Question

Apreciaría si alguien me ayudara con el siguiente problema. No soy bueno con las ecuaciones de cuarzo, así que no podría intentar mucho.

P: El número de valores integrales de $p$ para la cual la ecuación $x^4+4x^3-8x^2+p=0$ tiene las 4 raíces reales.

Deje que $ \alpha , \beta , \gamma , \delta $ son cuatro raíces reales.
Según la fórmula de Vieta
$ \alpha + \beta + \gamma + \delta =-4$
$ \alpha\beta + \alpha\gamma + \alpha\delta + \beta\gamma + \beta\delta + \gamma\delta =-8$
$ \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\delta + \alpha\gamma\delta + \beta\gamma\delta =0$
$ \alpha\beta\gamma\delta =p$

Entonces me quedé atascado ¿qué hacer?

Gracias de antemano.

Answer 1

Para un enfoque simple considere la función $y=x^4+4x^3-8x^2=x^2 \cdot\left ((x+2)^2-12 \right )$ - las intersecciones con la línea $y=-p$ dará las raíces del original. Dado que esto es sólo una línea horizontal en la normalidad $x,y$ plano, un rápido esbozo mostrará que el número de raíces reales se rige por la relación de $p$ a los mínimos/máximos locales del cuarzo.

La forma del cuarzo hace que esto sea fácil de esbozar, y la raíz doble en $x=0$ significa que el cúbico que se obtiene al diferenciar tiene una raíz obvia, dejando un factor cuadrático.