Que me confundo con el concepto de límite. Así que me gustaría ver qué límite es mediante ejemplos. Así que Toro ¿tiene límite?
Respuestas
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Mike Cole
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Toro no tiene un límite (cuando se ve como en un curso de geometría diferencial).
Esto puede ser un poco confuso si usted piensa de toro como el habitual "donut" colgando en el espacio tridimensional. Sin embargo, ¿qué se entiende por 'toro' es en realidad la superficie de esta figura, con su propio intrínseca de la estructura geométrica. El toro también puede ser visto como un resumen del colector, sin referencia a las tres dimensiones del espacio, mediante la identificación de los lados opuestos de un cuadrado --- entonces ya no se siente como debería haber un límite, al menos no para mí. Lo importante es que localmente toro se parece a un (pedazo de) avión.
Un manifold con frontera es algo que no se parece a un avión en todas partes, pero tiene lugares (límite) donde se vea localmente como la mitad de un plano. Tome por ejemplo un círculo, junto con el límite de $\{(x,y)\in\mathbb{R^2}\ : \ x^2+y^2 \leq 1\}$. Es un manifold con frontera, porque en los puntos de límite como $(0,1)$ no se ve como un avión. Sin embargo, un círculo abierto $\{(x,y)\in\mathbb{R^2}\ : \ x^2+y^2<1\}$ es un colector sin límite.
Una nota final: si en realidad quería toro a ser un donut, es decir, un $3$-dimensiones cosa, entonces será un (bastante interesante) colector con o sin límite, dependiendo de si se incluye el límite.
Y una cosa más: también hay una noción de límite en la topología. Esta es, probablemente, no se muy bien lo que quieres decir. Se aplica a un subconjunto de un espacio topológico (así que no se puede pedir para un límite de el toro, a menos que se especifique donde se encuentra), y generalmente es no vacío.
Uno ha de distinguir el límite de un colector y el límite de subconjuntos de un espacio topológico (que puede ser confuso, ya que el colector es un espacio topológico con la estructura más).
Un colector con límite de $M$ se define a menudo como un topológico de Hausdorff espacio localmente homeomórficos a la mitad superior del espacio de $\mathbb{H}^n:=\{(x^1,\dots,x^n)\in\mathbb{R}^n:x^n\geq 0\}$; en contraste a un colector sin límite, lo que localmente se homeomórficos para abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$. (Su límite de $\partial\mathbb{H}^n$ son todos los puntos de $x\in\mathbb{H}^n$ satisfacción $x^n=0$.Luego, en un colector sentido, el límite de $\partial M$ $M$ es la inversa de la imagen de $\partial H^m$ en algunas gráfico).
Por lo tanto, si uno quiere saber si un colector tiene límites o no usted tiene que mirar en su atlas, es decir, la estructura dada.
(Para más detalles sobre este tema recomiendo Lee: Introducción A la Suave Colectores)
Tsundoku
Puntos
1953
Como se ilustra por las respuestas anteriores, hay varias significado del término límite, y la noción precisa de los límites de un subconjunto de un espacio topológico es uno de ellos.
Otra es, por supuesto, la noción de límite de una $n $-manifold con frontera. Así que si consideramos un disco sólido $D $ en el avión es un $2 $-manifold con frontera de un círculo de $C$, y del límite como un subconjunto del plano es también el mismo círculo.
La noción de "límite" tiene más confusos de la historia de la topología algebraica, donde los primeros escritores (por ejemplo, Betti) quería hablar de "ciclos modulo límites", pero las ideas no estaban claras. Poincaré famosos artículos sobre "Análisis situs" (a partir de 1895) aclarado muchas cosas mediante el uso de simplicial descomposición y la noción de $n $-en la cadena formal de la suma de orientado a $n $-simplices, por lo que el límite de una $n$-simplex tenía un significado definido. Esto fue aclarado por Eilenberg (1944) con la noción de un orden en los vértices de un simplex, por lo que el que el $i$'th cara $\partial_i \sigma$ estaba bien definida y se podría definir entonces $$\partial \sigma = \sum _i (-1)^i \partial _i \sigma$$ conduce a $\partial \partial=0 $. Por lo tanto, un ciclo de una cadena de $z $ $\partial z=0 \,$ y un límite de $b $ fue una cadena tal que $b=\partial c $ algunos $c $. A continuación, cada frontera de un ciclo, como se requiere para la noción de homología.
No hay más que decir en esta historia. Pero el punto que yo quería hacer es que la noción de "límite" tiene una larga historia y no es irrazonable ser confundido en la intuición.
