¿Una alternativa de finita que Hilbert ' s Hotel?

Question

Aquí, propongo un número finito de alternativas a Hilbert del hotel como la intuición para, lógicamente, el desarrollo de Dedekind la definición de infinito. Me gustaría saber si esta analogía totalmente justifica dado el formalismo. Si no, ¿alguien puede sugerir cambios?

Un paseo a través de un número finito de la aldea

Supongamos que empezar en cualquier casa en este finito pueblo, y se puso en un paseo por el pueblo, yendo de una casa a otra. Supongamos, además, que, después de salir, no ir a cualquier casa en el pueblo (incluyendo su punto de partida) más de una vez. Y después de salir, usted también no se detenga a menos que usted regrese a su punto de partida. Usted puede o no puede ir a cada casa en el pueblo.

Intuitivamente, que no pudo evitar volver a su punto de partida en estas condiciones. Usted podría, por supuesto, volver a su punto de partida sin necesidad de ir a cada casa en el pueblo. Si seguía adelante, sin embargo, finalmente se ejecute fuera de los diferentes lugares a los que ir, y tendría que regresar a su punto de partida. Ir en cualquier otro lugar sería ir allí más de una vez. Este sería el caso de cualquier finito pueblo. (Podría no ser aplicable a cualquier infinita pueblo.)

¿Cómo podemos describir esos caminos matemáticamente? Podemos dejar que la $S$ el conjunto de casas en el pueblo. Cada ruta como se describe anteriormente, puede ser representado (hasta el punto de retorno) por una función inyectiva $f: S\to S$. Si usted está en casa de $x$, luego la casa de al lado en el camino iba a ser el único dado por $f(x)$.

¿Por qué una función inyectiva? Para asegurarse de que usted visita cada casa de no más de una vez, $f$ debe ser inyectiva, es decir, si $f(x) = f(y)$,$x = y$.

Supongamos que nos vamos a $x_0$ ser la casa que es su punto de partida. Ya debe de regresar a $x_0$, debe existir una casa de $x_n$ tal que $f(x_n) = x_0$, es decir, $x_n$ sería la última casa que visitó antes de regresar a su punto de partida $x_0$.

Un conjunto $S$, puede decirse que finito si y sólo si

$\forall x_0, f:[x_0 \in S \land f:S\to S\implies [Injective(f) \implies \exists x_n \in S: f(x_n)=x_0]$

Esto puede ser demostrado ser equivalente a Dedekind la definición de finito, con su negación de ser la definición de infinito.

Answer 1

El único comentario que me gustaría hacer es que no está claro por qué te gustaría tener a la visita, la primera casa de dos veces. Que me parece extraño, ya que es exactamente lo que estábamos tratando de evitar, no? Tal vez más apropiada sería si todas las familias negocian casas (aunque posiblemente aún así terminó en su casa habitual) de tal manera que no era, a lo más, uno de la familia por la casa. Que también deja en claro que usted podría en realidad el estado de la condición como "Un conjunto $S$ es finito si y sólo si cada inyección de $S\rightarrow S$ es también un surjection"

Me gustaría también ser buena para mostrar por qué conjuntos infinitos no podría satisfacer este - que es, usted podría tener cada familia se traslada de una casa, dejando la primera casa desocupada (como en el de Hilbert del hotel).

Answer 2

Buena pregunta!

Creo que la forma más natural y directa de la formalización de la intuición de que usted está proporcionando es:

Definición. Un conjunto $X$ es finito (en el paseo-a través de-un-pueblo-sentido) iff no hay inyección de $f : \mathbb{N} \rightarrow X$.

La función de $f$ describe un camino, es decir, $(f(0),f(1),f(2),\ldots).$ Este admite un poco fría generalización:

Definición. (General) Una estructura algebraica $X$ $N$- finito (en el paseo-a través de-un-pueblo-sentido) iff no es inyectiva homomorphism $N \rightarrow X$ donde $N$ es una estructura algebraica a través de la misma firma.

Por ejemplo, una torsión grupo es sólo una $\mathbb{Z}$-grupo finito, en el paseo-a través de-un-pueblo-sentido.