Resolviendo

Question

Mi intento:

Usando la fórmula de las combinaciones lineales de seno y coseno:

$$A \cos x+B \sin x=C \sin (x+\phi)$$

$$ \sqrt{51} \left(\frac{6}{\sqrt{51}} \cos x - \frac{5}{\sqrt{51}}\sin x\right) = 8 $$

$$ \frac{6}{\sqrt{51}} \cos x - \frac{5}{\sqrt{51}}\sin x = \frac{8}{\sqrt{51}} $$

Y, a continuación, asumir:

$$ \frac{6}{\sqrt{51}}= \cos \psi ; \frac{5}{\sqrt{51}}= \sin\psi ; $$

$$ \cos \psi \cos x - \sin \psi \sen x = \cos (x+ \psi) = \cos(x + \arccos ( \frac{6}{\sqrt{51}})) $$

$$ x + \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{51}}\right) = \arcsin\left( \frac{8}{\sqrt{51}}\right) $$

$$ x \aprox 12^\circ $$

Pero la respuesta es: $$ -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n , n\in\Bbb Z $$

Answer 1

Tenemos %#% $ #%

Sin embargo, un rápido vistazo a la gráfica de la función coseno nos muestra que limita entre $$6 \cos x - 5\cos x = \cos x$ y $-1$, que $1$ no hay soluciones. $\cos x = 8$

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Suponiendo que tu ecuación original era $\square$ como su cuerpo sugeriría, podemos representar esto en la forma $6 \cos x - 5\sin x = 8$ $

¿utilizando el mismo método que hizo en su pregunta, puede tomarla de allí?

Edición: Esto todavía no tiene sentido, tenemos $$\sqrt{61} \sin \left(x - \arctan\left(\frac{5}{6}\right)\right) = 8$ $ así que todavía no existen soluciones.

Answer 2

¿$$6\cos { x } -5\sin { x } =8\ 6\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } -6\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } -10\sin { \frac { x }{ 2 } \cos { \frac { x }{ 2 } =8 } \cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } +8\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } } } } \ 14\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } +10\sin { \frac { x }{ 2 } \cos { \frac { x }{ 2 } } } +2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } =0\ \cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } \neq 0$ $ $$14\tan ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } +10\tan { \frac { x }{ 2 } +2=0 } } \ \tan { \frac { x }{ 2 } =a } \ 7{ a }^{ 2 }+5a+1=0\ $ $ puede tomar desde aquí?

Answer 3

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

%#% $ de #% por lo que no es posible que $$ \left( 6\cos x-5\sin x\right)^2 \leq 36+25 = 61

Answer 4

Editar: en general, el valor máximo de $a\cos A+b\sin A$ es $\sqrt{a^2+b^2}$

Por lo tanto, el valor máximo de $6\cos x-5\sin x$ es $\sqrt{6^2+(-5)^2}=\sqrt{61}$

Pero $RHS=8$ $\implies \sqrt{61}

Por lo tanto no hay solución de la ecuación dada: $6\cos x-5\sin x=8$

Answer 5

$6^2 + 5^2 = 61

Por lo que su respuesta tentativa es aceptable excepto un dígito y el hecho de que usted recibe $$ \cos(\text{something}) = \frac 8 {\sqrt{61}} > 1. $$

Coseno de un número complejo puede ser superior al $1$, pero no un coseno de un número real.