¿Por qué es este conjunto estacionario?

Question

Deje que$\kappa$ sea un cardenal regular incontable, y deje que$\lambda < \kappa$ sea regular. Defina el conjunto$$E_{\lambda}^{\kappa} = \{\alpha < \kappa \mid \operatorname{cf}\alpha=\lambda \}.$$ I am trying to show that this is a stationary subset of $ \ kappa$, i.e. that it has non-zero intersection with every closed unbounded set $ \ subseteq \ kappa $.

Mi intento de resolver esto fue tomar un club$C$ y luego construir una secuencia creciente$\langle \beta_{\xi} \mid \xi < \lambda\rangle$ en$C$. Dado que$\operatorname{cf}\lambda = \lambda$ entonces$\alpha:= \displaystyle\lim_{\xi \rightarrow \lambda}\beta_{\xi} < \kappa$, y por lo tanto$\alpha \in C$. Si pudiera mostrar que$\operatorname{cf}\alpha = \lambda$, entonces$E_{\lambda}^{\kappa} \cap C \not= \emptyset$, lo que es bueno.

¿Es esta la forma correcta de hacer esto? Gracias.

Answer 1

Su enfoque funciona. Tienes una secuencia creciente$\langle \beta_\xi:\xi<\lambda\rangle$ en$C$, con$\alpha=\sup\limits_{\xi<\lambda}\beta_\xi$. Dado que$\lambda<\kappa$, y$\kappa$ es regular,$\alpha<\kappa$, y como$C$ está cerrado, esto implica que$\alpha\in C$. La secuencia$\langle \beta_\xi:\xi<\lambda\rangle$ es evidentemente cofinal en$\alpha$, así que$\operatorname{cf}\alpha=\operatorname{cf}\lambda=\lambda$, ya que$\lambda$ es regular. Por lo tanto,$\alpha\in E_\lambda^\kappa\cap C$, como se desee.

Answer 2

El conjunto $E^\kappa_\lambda$ es estacionaria, ya que cada club subconjunto $C\subset\kappa$ tendrá un $\lambda^{th}$ elemento, este será un elemento en $E^\kappa_\lambda\cap C$. Así que el conjunto se reúne cada club, y por lo tanto es estacionaria. La razón por la que cada club subconjunto de $\kappa$ $\lambda^{th}$ elemento $\lambda\lt\text{cof}(\kappa)$. La razón por la que el $\lambda^{th}$ elemento de un club es en $E^\kappa_\lambda$ es que el $\lambda^{th}$ elemento de el club ha cofinality $\lambda$, siendo el límite de la $\lambda$ muchos antes de los elementos del club, y desde $\lambda$ es regular, esto significa que el cofinality se $\lambda$.