Demostrar la discontinuidad mediante la negación de la definición de continuidad

Question

$f(x) = \lfloor x \rfloor $
Una función $f$ es continua en $x=a$ si:
$$ \forall \epsilon >0 \ \ \exists \delta >0 \ \ \ \forall x \in (a- \delta ,a+ \delta ) \ \ \ |f(x) - f(a)|< \epsilon. $$

La negación de esto es
Una función $f$ es discontinuo en x=a si:
$$ \exists \epsilon >0 \ \ \ \forall \delta > 0 \ \ \ \exists x \in (a- \delta ,a+ \delta ) \ \ \ |f(x) - f(a)| \geq \epsilon. $$

Demuestra que $f$ es discontinuo en $x=3$ .

Sólo me pierdo en qué hacer primero. ¿Considero que el $|f(x) - f(a)| \geq \epsilon $ parte primero? ¿Escogeré $ \epsilon $ ¿Primero?

Esto es lo que intenté:
Escoge $ \epsilon $ para ser $3$ que $ \delta >0$ ser arbitrario y escoger $x = 1- \delta < 3+ \delta $ .
Luego $f(1- \delta ) \leq 0 $ así que $f(1- \delta ) - 3 \leq -3$ así que $|f(1- \delta ) - 3| \geq 3 = \epsilon $ .
No estoy seguro de haber tenido suerte, pero ¿fue mi proceso correcto? (Elija primero épsilon, elija $x$ ...)

Answer 1

Está en un orden. Primero hay que elegir el $\epsilon$ y luego para todos $\delta$ , elija una $x \in (a-\delta,a+\delta)$ posiblemente dependiendo de $\epsilon$ y $\delta$ tal que $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ .

Por lo tanto, al hacer esta pregunta, debe tener una idea de lo que su $\epsilon$ es, primero. ¿Qué hace este $\epsilon$ representar, es nuestra pregunta. ¿Cómo decidimos qué valor es? Para ello, debemos entender cómo $\lfloor x \rfloor$ se comporta en una vecindad del punto $3$ .

De hecho, justo a la izquierda de $3$ toma el valor $2$ y a la derecha toma el valor $3$ . Así, en una vecindad de tres, se puede encontrar un punto cuyo valor de la función esté siempre separado de tres por exactamente uno, simplemente tomando un punto justo a la izquierda de tres. Esto significa que siempre se puede encontrar un punto cuyo valor de la función esté separado de tres, por más de, digamos, la mitad (cualquier fracción menor que uno habría servido aquí). Esto es en palabras. Ahora digámoslo en símbolos.

Dejemos que $\epsilon = \frac 12$ . Dejemos que $\delta > 0$ sea cualquier número positivo. Entonces, en el intervalo $(3-\delta,3+\delta)$ , elija el número $x = 3-\frac{\delta}{2}$ . Esta se encuentra lo suficientemente a la izquierda de tres, y también está contenida en el intervalo $(3-\delta,3+\delta)$ . Por supuesto, $\lfloor x\rfloor \leq 2$ por definición, pero entonces $\lfloor x \rfloor - \lfloor 3 \rfloor \geq 1 > \epsilon = \frac 12$ . Por lo tanto, tenemos que $\lfloor \cdot \rfloor$ es discontinuo en $x = 3$ .

Puedes usar esto para demostrar que $\lfloor \cdot \rfloor$ es en realidad discontinua en todos los enteros, y continua en todos los demás.

Answer 2

$\epsilon = 3$ no funcionará. En concreto, si eliges $\epsilon = 3$ , entonces elijo $\delta = 0.5$ y sólo tienes $x\in (2.5, 3.5)$ para trabajar. No se puede hacer $|\lfloor x\rfloor - \lfloor 3 \rfloor|>3$ con eso. Así que para eso $\epsilon$ existe un $\delta$ lo que significa que su $\epsilon$ es no un testigo de la discontinuidad.

Si miras el gráfico, tiene saltos de longitud $1$ Así que tienes que elegir un $\epsilon<1$ , digamos que $\frac12$ .

Una vez que has hecho eso, demuestras que no importa qué $\delta>0$ que te arroje, puedes encontrar un $x\in (3-\delta, 3+\delta)$ tal que $|f(x) - f(3)|<\frac12$ . Por ejemplo, puede elegir $3-\frac\delta2$ para que esto dé como resultado $$ \left|\left\lfloor3-\frac\delta2\right\rfloor - \lfloor3\rfloor\right|\geq1>\frac12 $$ y hemos terminado.