Aplicación del teorema del punto fijo de Banach

Question

Estoy buscando una función $f:[0,1]\rightarrow\mathbb R$ que satisface $$\int_{0}^{1}\frac{\sin(f(t)-y)}{2}\,\mathrm dy=f(t)$$ para $t\in[0,1]$ .

Lo primero que hago es definir una función $A:M\rightarrow M$ donde $M=C([0,1])$ con $$A(f)(t)=\int_{0}^{1}\frac{k(f(t),y)}{2}\,\mathrm dy.$$

Establecer $$k(x,y)=\sin(x-y).$$ Entonces $k$ es Lipschitz-continuo con respecto a la primera variable con la constante Lipschitz $1$ .

Por lo tanto, estoy buscando una función única $f$ que satisface $A(f)=f$ . ¿Cómo se puede calcular explícitamente?

Answer 1

Usted tiene $$ |A(f)(t)-A(g)(t)|\leq \frac{1}{2}\int_0^1|k(f(t),y)-k(g(t),y)|dy $$ $$ = \frac{1}{2}\int_0^1|\sin(f(t)-g(t))|dy\leq \frac{1}{2}|f(t)-g(t)| $$ para todos $t\in [0,1]$ .

Así que $$ \|A(f)-A(g)\|_\infty\leq \frac{1}{2}\|f-g\|_\infty $$ que muestra que $A$ es una contracción en el espacio vectorial completo normado $C([0,1])$ equipado con la norma sup.

Por Teorema del punto fijo de Banach existe un punto fijo único $f$ . La unicidad es fácil si se introducen dos puntos fijos en la estimación. La existencia pasa por elegir cualquier $f_0$ y luego considerando la secuencia recursiva $f_{n+1}=A(f_n)$ . Es una secuencia de Cauchy, por lo que converge. Y debe converger a un punto fijo. Esta es su $f$ .

Si empiezas con $f_0(t)=0$ se obtiene una secuencia de funciones constantes. Por lo tanto, el límite $f$ es una constante igual a $C$ . Por lo tanto, satisface $$ C=\frac{1}{2}\int_0^1\sin(C-y)dy=\frac{1}{2}(\cos(C-1)-\cos C)). $$ No creo que podamos encontrar una forma cerrada. Pero podemos hacer trampa y usar Wolfram Alpha para encontrar $$ C\simeq -0.364838. $$