Differentiability en espacios métricos

Question

Tengo una pregunta en mente: ¿por qué no podemos definir differentiability en espacios métricos arbitrarias? ¿O podemos nosotros definir realmente? Por favor consulte. Sólo he estudiado la noción de differentiability en $\mathbb{R}^n$.

Answer 1

Riemann colectores son el principal ejemplo de métrica espacios que tienen una noción útil de la diferenciabilidad, a pesar de no ser necesariamente $\mathbb R^n$ o cualquier tipo de espacio vectorial. (Uno realmente no necesita la estructura de Riemann para definir derivados; sólo la suavidad de la estructura es necesario. Pero se preguntó acerca de la métrica de los espacios, y en general suave colectores no tiene una preferencia en sistema métrico.)

Uno puede empujar un poco de cálculo en el ámbito de la métrica de espacios que no son suaves colectores. Este tema (Análisis de la métrica espacios) se pone bastante técnico y axiomático rápidamente, pero hay fuertes de los últimos resultados, con aplicaciones a otras áreas como incrustaciones de infinito gráficos en la normativa de espacios. Un estándar de referencia es la encuesta Nonsmooth cálculo por Heinonen:

Hacemos un estudio de los últimos avances en el análisis y la geometría, donde el primer fin de análisis diferencial se ha extendido más allá de su clásica suave configuración. Tales estudios han aplicaciones geométricas de la rigidez de las preguntas, sino que también son de interés intrínseco. La transición de la suave espacios para espacios singulares donde el cálculo es posible paralelismo con la clásica desarrollo de las funciones lisas para funciones con una débil o generalizada derivados. Por otra parte, hay una nueva manera de mirar la clásica teoría geométrica de funciones de Sobolev que es útil en contextos más generales.