Conciliar dos descripciones diferentes del doble paquete

Question

$\newcommand{\mc}{\mathcal}$ Dejemos que $\pi:E\to M$ sea un haz vectorial liso con la fibra típica a $k$ -espacio vectorial de dimensiones $\mc V$ . Hay (al menos) dos formas de construir el haz dual de $E$ .

Enfoque directo: Definir $E^*$ como el uinon disjunto $\bigcup_{p\in M}E^*_p$ . Definir $\pi^*:E^*\to M$ como $\pi(E^*_p)=\{p\}$ . Para cada trivialización local suave $\Phi:\pi^{-1}(U)\to U\times \mc V$ de $E$ en $U\subseteq M$ , defina $\Phi^*:{\pi^*}^{-1}(U)\to U\times \mc V^*$ como $\Phi^*(v)=(p, \Phi_p^{-t}v)$ para todos $v\in E^*_p\cap {\pi^*}^{-1}(U)$ . Entonces, utilizando el teorema de construcción de haces vectoriales, se puede establecer que existe una topología única y una estructura suave tal que $\pi^*:E^*\to M$ es un haz vectorial suave sobre $M$ con la típica fibra $\mc V^*$ .

Enfoque del paquete asociado: Consideremos el haz de marcos $F(E)$ que se sabe que es una de las principales $GL(\mc V)$ -un paquete. Definir una representación de $GL(\mc V)$ en $\mc V^*$ definiendo un mapa $\rho:GL(\mc V)\to GL(\mc V^*)$ como $\rho(T)=T^{-t}$ (Aquí $T^{-t}$ es la inversa de la transposición de $T$ ). Entonces podemos definir el haz dual de $\pi:E\to M$ como el haz asociado de $F(E)$ con respecto a la representación $\rho$ .

Estas dos construcciones son muy diferentes. Una forma de demostrar que son iguales es plantear un isomorfismo de haz entre ellas.

¿Puede alguien, por favor, intentar intuir por qué estas dos construcciones son iguales?

Gracias.

Answer 1

Describamos en primer lugar el paquete asociado $F(E) \times_{\rho} \mathcal{V}^*$ al haz de marcos $\pi_{F} \colon F(E) \to M$ con respecto a la representación $\rho$ . Se construye tomando el producto $F(E) \times \mathcal{V}^*$ y modding out por la acción diagonal de $GL(\mathcal{V})$ por lo que la fibra por encima del punto $p \in M$ consiste en clases de equivalencia de pares $(B, \nu) \in F(E)_p \times \mathcal{V}^*$ , donde $(B_1,\nu_1) \sim (B_2,\nu_2)$ si hay $T \in GL(V)$ tal que $T \cdot B_1 = B_2$ y $T^{-t} \nu_1 = \nu_2$ . (Aquí, $B_1$ y $B_2$ son bases ordenadas de $E_p$ .)

¿Cómo se relaciona esto con la fibra $E_p^*$ ? Un elemento de $\left( F(E) \times_{\rho} \mathcal{V}^* \right)_p$ son precisamente los datos que se necesitan para definir un funcional lineal $E_p \to \mathbb{R}$ ¡! En efecto, dado un par $(B,\nu) \in F(E)_p \times \mathcal{V}^*$ , identifique $E_p$ con $\mathcal{V}$ con la base ordenada $B$ y luego componer con $\nu$ para obtener un mapa lineal $E_p \simeq \mathcal{V} \stackrel{\nu}{\to} \mathbb{R}$ . Además, si $(B_1,\nu_1)$ y $(B_2,\nu_2)$ son equivalentes en la fibra $\left( F(E) \times_{\rho} \mathcal{V}^* \right)_p$ entonces determinan el mismo funcional lineal $E_p \to \mathbb{R}$ . Por tanto, las dos caracterizaciones del haz dual coinciden en las fibras.

Además, si $(U,\Phi)$ es una trivialización local de $\pi \colon E \to M$ entonces también trivializa tanto el haz dual $\pi^* \colon E^* \to M$ (en el sentido del planteamiento directo de la pregunta) y el haz de marcos $\pi_F \colon F(E) \to M$ . De ello se deduce que las funciones de transición de $F(E) \times_{\rho} \mathcal{V}^*$ coinciden con los de $E^*$ ya que las funciones de transición del haz asociado a $\pi_F \colon F(E) \to M$ son las funciones de transición de $\pi_F$ postcompuesto con la representación $\rho$ (es decir, estamos tomando la "transposición inversa" del mapa $\Phi$ ).