Interpretación combinatoria de la identidad

Question

Recientemente me encontré con la identidad

$$\sum_{k=0}^m\dbinom{m}{k}\cdot \frac{(-1)^k}{n+k+1}=\dfrac{n!\cdot m!}{(n+m+1)!},$$

mientras trabaja en la evaluación

$$\int_0^1 x^n(1-x)^m\, dx.$$

Terminé mostrando que ambos lados de la identidad eran iguales para este integral, pero me preguntaba si había una manera de demostrar directamente (ya sea por manipulación o algún argumento combinatoria) que era igual a otro. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Una de las posibles combinatorias de la explicación de los resultados de multiplicar todo por $n+1$: $$ \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} (-1)^k \frac{n+1}{n+1+k} = \frac{1}{\binom{n+m+1}{m}}. $$ En el lado izquierdo tenemos una inclusión-exclusión de la fórmula, que cuenta la probabilidad de que ninguno de los eventos malos $B_1,\ldots,B_m$ suceder; la probabilidad de que $k$ específica malas que suceden los eventos es $(n+1)/(n+1+k)$.

Un posible experimento que puede ser la base de esta identidad es la que se muestra a $m$ bolas con la sustitución de $n+2$ "colores", con una distribución uniforme sobre el $\binom{n+m+1}{m}$ diferentes opciones. El evento malo $B_i$ es que el balón $i$ no conseguir el color $1$, dicen. La probabilidad de que ninguno de los eventos malos suceder es exactamente $1/\binom{n+m+1}{m}$. Cada una de las bolas es elegido de manera uniforme, por lo que la probabilidad de $B_i$ es, de hecho,$(n+1)/(n+2)$. Suponemos que la probabilidad de la conjunción de cualquier $k$ eventos malos es $(n+1)/(n+1+k)$, lo que implica su identidad.