Sea $H_1,H_2$ dos subgrupos de $G$. Mostrar que $ G=H_1 \cup H_2 \implies G=H_1 \lor G=H_2 $

Question

Esta es mi tercera semana de álgebra abstracta.

Deje $H_1,H_2$ dos subgrupos de $G$. Mostrar que $$ G=H_1 \cup H_2 \implies G=H_1 \lor G=H_2 $$

Aquí es lo que yo pensaba:

Si tenemos en cuenta los subgrupos de $\Bbb Z/4\Bbb Z=\{0,1,2,3 \}$, esta regla sería:

\begin{equation} \forall H_1,H_2\subseteq G :H_1\subseteq H_2 \lor H_2\subseteq H_1 \tag{1} \end{equation}

Cual sería la declaración. Sin embargo, si miro la vectorspace $\Bbb R^3$, $(1)$ no sería cierto. Por ejemplo, uno de esos subgrupos tiene que ser en tres dimensiones, ¿existe algo como dimensiones en la teoría de grupo ?

Creo que me estoy mirando en la dirección equivocada, puede que alguien me ilumine un poco aquí ? Una sutil sugerencia se agradece.

Answer 1

Sugerencia: Suponga que $\,a_1\in H_1-H_2\;\;,\;\;a_2\in H_2-H_1\,$, entonces: $\,a_1a_2\,$ ¿Dónde está? Así que ¿qué podemos deducir?

Answer 2

Gracias por los consejos, es esto una prueba de la correcta?

Supongamos $G=H_1 \lor G=H_2$ no es cierto.

Esto implica $G\not= H_1 \land G\not=H_2$, y esto implica que $H_1,H_2\subsetneq G$.
De modo que existe un elemento de a $h_1 \in G$ que no se encuentra en $H_2$. Y debido a que $G=H_1 \cup H_2$, este elemento debe estar en $H_1$. Lo mismo va para un elemento $h_2 \in G$$H_2$, pero no en $H_1$. Ahora tenemos que exista $h_1\in H_1 - H_2\text{ and }h_2\in H_2-H_1$.

Ahora consideraremos $h_1\cdot h_2$. Como $G=H_1\cup H_2$, este elemento debe ser en $H_1$ o $H_2$. Tomemos el caso $h_1\cdot h_2\in H_1$ (el otro caso es similar). Sabemos que desde $h_1 \in H_1$, $h_1^{-1}\in H_1$. Pero luego también se $h_1^{-1}\cdot h_1\cdot h_2 \in H_1$. Esto implica $h_2\in H_1$, pero esto se contradice con lo que ya mostró: $h_2\in H_2-H_1$. $\square$

Answer 3

En primer lugar, no se puede probar el teorema por considerar subgrupos en un grupo como $\mathbb Z_4$ (para el caso de que usted no será demostrar el teorema incluso si usted controladas manualmente por un billón de casos). Usted necesita un argumento general.

La estructura de la prueba, el uso de la prueba por contradicción. Suponga que el resultado deseado no se sostiene y tratar de encontrar una contradicción. Por lo tanto, comenzar diciendo: "supongamos que $H_1,H_2\subset G$ son subgrupos de $G$ tal que $H_1\cup H_2$ es un subgrupo pero ni $H_1\subseteq H_2$ ni $H_2\subseteq H_1$."

Ahora, estos supuestos dar algo. Es decir, elementos $h_1\in H_1$ $h_2\in H_2$ tal que $h_1\notin H_2$$h_2\notin H_1$. Ahora a recordar lo que significa ser un subgrupo y reflexionar acerca de lo que puede suceder.