Supongamos que tenemos esta acción:
$$ S = \int \mathrm d^4 x\sqrt{-g}\times \text{something}$$
donde $g$ es el factor determinante de la métrica.
Debo tomar el Lagrangiano que:
$$ \mathcal L = \sqrt{-g} \times \text{something} $$
o:
$$ \mathcal L = \text{something}$$
¿en su lugar? Sí, esta es una pregunta estúpida.
Es, en cierto sentido, sólo semántica pero yo diría que la opción natural es $\mathcal{L}=\sqrt{-g}\times \text{something}$. Si usted toma esta definición, la forma general de las ecuaciones de movimiento es igual al hacer QFT de Minkowski, con las generalizaciones apropiadas para tener en cuenta la curvatura. Además, creo que es una práctica estándar para definir la acción por %#% $ de #% esta forma también se conserva cuando se acepta el Convenio que propongo.
La selección natural es en realidad $\mathcal{L}=\text{something}$, la razón es que el $\sqrt{-g}$ plazo es, naturalmente, vinculado con la forma de volumen $d^4x$.
Incluso antes de considerar la curva el espacio-tiempo, considere la posibilidad de no coordenadas Cartesianas. Por ejemplo coordenadas esféricas $$ dt\,dx\,dy\,dz = r^2 \sin\theta\ dt\,dr\,d\theta\,d\phi$$
¿Y a qué plazo$r^2 \sin\theta$? Que es el determinante de la matriz Jacobiana del cambio de coordenadas. Este es el papel de $\sqrt{-g}$ obras de teatro, sin que el volumen de forma no sería invariante a los cambios de coordenadas.
Si la separaba de la otra manera, ni el Lagrangiano de la densidad ni la forma de volumen sería invariante de Lorentz. Así que tiene mucho más sentido mantener el $\sqrt{-g}$ con la integración, y mantener a $\mathcal{L}$ solo una densidad Lagrangiana.
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