¿Cómo puedo encontrar la amplitud?

Question

Demostrar que el movimiento de una masa de $m$ sobre un resorte lineal con constante $k$, tiene la forma $$y (t) = A \sin(wt+f),$$ where $t$ is the time and $a, w, f$ are constants. We know that for $t = 0, y(0)=y_{0}$ and $s'(0)=v_{0}$. If, in addition, the mass is subject to external force $F (t) = F_{0} \sin (w_{0}t)$, where $F_{0}$ the amplitude and $w_{0}$ la frecuencia cíclica, a continuación, calcular la amplitud del movimiento.

Cuando la masa está sujeta a una fuerza externa $F (t) = F_{0} \sin (w_{0}t)$,se obtiene esta ecuación diferencial: $$y''+w^{2}y=\frac{F_{0}}{m} \sin(w_{0}t),$$ which has the solution: $$y(t)=c_{1} \cos(wt)+c_{2} \sin(wt)+\frac{F_{0}}{m(w-w_{0}^{2})} \sin(w_{0}t),$$ where $c_{1}=y_{0} $ and $ c_{2}=\frac{v_{0}}{w}-\frac{F_{0}w_{0}}{mw(w-w_{0}^{2})}$. A la derecha? Pero, ¿cómo puedo encontrar la amplitud del movimiento?

Answer 1

Ampliyude $A$ se determinará por
$[\dfrac{v_0}{\omega ^2} + x_0^2]= A^2 $

Para ver cómo se deriva esta ecuación Lea esta respuesta dada por mí:
He publicado aquí:
Con $\sin()$ o $\cos()$ computación SHM?.

Answer 2

La amplitud es el desplazamiento máximo en el estado estacionario. Que es bueno para una definición de trabajo. Así que, todo lo que usted necesita hacer es encontrar el valor máximo de $|y(t)|$ en estado estacionario.

Hay algunos pequeños algebraica de los errores en su solución. Que dijo,

$y(t) = y_{cf}(t) + y_p(t)$

Para ilustrar mi punto mejor, me deja utilizar el siguiente formulario para $y_{cf}(t)$

$ y_{cf}(t) = A e^{-i\lambda_1t} + Be^{-i\lambda_2t} $ $ \lambda_1 , \lambda_2 > 0$

No hay ninguna diferencia entre esta y la forma con senos y cosenos, aparte de los valores de las constantes.

En estado estacionario, que es, $\lim{t\to\infty}$ , $y_{cf}(t) = 0$

Esto significa que la amplitud es, simplemente, $|y_p(t)|= |\frac{F_0}{m(\omega^2 - \omega_0^2)}\sin (\omega_0 t)| = \frac{F_0}{|m(\omega^2 - \omega_0^2)|} $