Forma cerrada $\int_{-1}^{1} \frac{\ln (\sqrt{3} x +2)}{\sqrt{1-x^{2}} (\sqrt{3} x + 2)^{n}}\ dx$

Question

Hace la siguiente integral $$\int_{-1}^{1} \frac{\ln (\sqrt{3} x +2)}{\sqrt{1-x^{2}} (\sqrt{3} x + 2)^{n}}\ dx, \; \; n \in \mathbb{N}$$

tienen una forma cerrada agradable? Básicamente no puedo abordarlo en ninguna dirección. La simetría es inútil. Aplicar partes, bueno, empeora las cosas. ¿Podría ayudarnos el análisis complejo? Es decir, integrar alrededor de un contorno de hueso de perro ... Lo dudo mucho pero es solo una idea.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Integremos por $n$ primero: $$ K(n) = \int I(n) dn = \int \int_{-1}^1 \frac{\log(\sqrt{3}x+2)}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{3}x+2)^n} dx dn = -\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{3}x+2)^n} + C $$ Camino largo. (original) Según Wolfram Mathematica $$ K(n) = -\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{3}x+2)^n} + C = -\frac{\pi}{2^n} \,{_2F_1}\left(\frac{n}{2},\frac{n+1}{2};1;\frac{3}{4}\right) + C. $$ Así que $$ I(n) = K'(n) = \frac{\pi \log 2}{2^n} {_2F_1}\left(\frac{n}{2},\frac{n+1}{2};1;\frac{3}{4}\right) -\\ -\frac{\pi}{2^{n+1}}\left( \frac{\partial _2F_1}{\partial a}\left(\frac{n}{2},\frac{n+1}{2};1;\frac{3}{4}\right) + \frac{\partial _2F_1}{\partial b}\left(\frac{n}{2},\frac{n+1}{2};1;\frac{3}{4}\right) \right) $$ Sea $$G(n,z) = \frac{1}{2^{n}}{_2F_1}\left(\frac{n}{2},\frac{n+1}{2};1;z\right) $$ O reescribiendo en términos de funciones de Legendre (A&S 15.4.10) $$ G(n,z) = \left(\frac{1}{4-4z}\right)^{n/2} P_{n-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1-z}}\right)\\ G\left(n,\frac{3}{4}\right) = P_{n-1}\left(2\right) $$ Camino corto. Tenga en cuenta que $$ P_\lambda(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi (x + \sqrt{x^2 - 1}\cos \theta)^\lambda dx = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi (x + \sqrt{x^2 - 1}\cos \theta)^\lambda dx. $$ Y $$ \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{3}x+2)^n} = \int_{0}^\pi \frac{d\theta}{(2+\sqrt{3}\cos \theta)^n} = \pi P_{-n}(2) = \pi P_{n-1}(2) $$

A continuación papel y esto papel $$ \frac{\partial P_{\nu}(z)}{\partial \nu}\Big|_{\nu = n} = -P_n(z) \log\frac{z+1}{2} + \frac{1}{2^{n-1}n!}\frac{d^n}{dz^n} \left[ (z^2-1)\log \frac{z+1}{2} \right] $$ así que $$ \frac{\partial}{\partial n} G\left(n, \frac{3}{4}\right) = -P_{n-1}(2) \log\frac{3}{2} + \frac{1}{2^{n-2}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z^2-1)^{n-1}\log \frac{z+1}{2} \right]_{z=2} $$ Y finalmente $$ I(n) = \pi P_{n-1}(2) \log\frac{3}{2} - \frac{\pi}{2^{n-2}(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ (z^2-1)^{n-1}\log \frac{z+1}{2} \right]_{z=2} = -\pi A_n \log\frac{3}{2} - \pi B_n $$ He aquí una tabla para algunos $n$ : $$ \begin{array}{ccc} n & A_n & B_n \\\hline 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & \frac{11}{2} & \frac{15}{4} \\ 4 & 17 & \frac{77}{6} \\ 5 & \frac{443}{8} & \frac{4213}{96} \\ 6 & \frac{743}{4} & \frac{36353}{240} \\ 7 & \frac{10159}{16} & \frac{168833}{320} \\ 8 & \frac{17593}{8} & \frac{2074197}{1120} \\ 9 & \frac{984467}{128} & \frac{234465461}{35840} \\ 10 & \frac{1734443}{64} & \frac{3746664781}{161280} \\ \end{array} $$

Answer 2

Sólo una respuesta parcial. He encontrado expresiones de forma cerrada para $n=0,\dots,4$ .

$$I(n) := \int_{-1}^{1} \frac{\ln (\sqrt{3} x +2)}{\sqrt{1-x^{2}} (\sqrt{3} x + 2)^{n}}\ dx, \; \; n \in \mathbb{N}.$$

Entonces son los siguientes: \begin{align} I(0) &= -\pi\ln\left(\frac{2}{3}\right),\\ I(1) &= \pi\ln\left(\frac{2}{3}\right),\\ I(2) &= 2\pi\ln\left(\frac{2}{3}\right)-\pi,\\ I(3) &= \frac{11\pi}{2}\ln\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{15\pi}{4},\\ I(4) &= 17\pi\ln\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{77\pi}{6}. \end{align}

He conjeturado que la forma general es $a\pi\ln(2/3)+b\pi$ para algún racional $a,b$ constans, pero con Algoritmo PSLQ No he encontrado nada más. Después de todo, creo que hay una posibilidad de encontrar una forma cerrada para esta integral.