Un problema determinante

Question

Si $f(n)=\alpha^n+\beta^n$ y

$$A=\left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+f(1) & 1+f(2) \\ 1+f(1) & 1+f(2) & 1+f(3) \\ 1+f(2) & 1+f(3) & 1+f(4) \end{array} \right|$$

$=k(1-\alpha)^2(1-\beta)^2(\alpha-\beta)^2$

a continuación, $k=$ $a) 1\:\:\:$ $b)-1\:\:\:$ $c) \alpha\beta\:\:\:$ $d)\alpha\beta\gamma$

He hecho la suma, sino una respuesta no siempre, así que por favor a ver si estoy en lo cierto.

$$A=\left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$$

$=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1 & 1 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1 & 1 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1 & \alpha^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1 & \alpha^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1 & \beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1 & \beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \alpha & 1 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \alpha^2 & 1 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \alpha & \alpha^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \alpha^2 & \alpha^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \alpha & \beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \alpha^2 & \beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \beta & 1 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \beta^2 & 1 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \beta & \alpha^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \beta^2 & \alpha^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

$+ \left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \beta & \beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \beta^2 & \beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|$

Ahora, $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \beta & \beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \beta^2 & \beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|=0$

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1 & 1 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1 & 1 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|=0$

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ \alpha & \alpha^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ \alpha^2 & \alpha^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array} \right|=0$

Poniendo eso y teniendo en común, al final obtenemos:

$A= (\alpha\beta^2-\beta\alpha^2-\beta^2+\beta+\alpha^2-\alpha) \cdot B$

donde $B= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array} \right|$ $=-(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$

Así que, finalmente, la factorización, $A= (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$

Por eso, $k=1$

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Que $g(x) = (x-1)(x-\alpha)(x-\beta)$, un polinomio monic con el % de raíces $1, \alpha, \beta$. Entonces la matriz de Vandermonde de raíces para g es

$$M = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\1 & \alpha & \alpha^2\ 1 & \beta & \beta^2\end{array}\right)$$

con el determinante conocido siendo producto de las diferencias de las raíces $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$. Teniendo en cuenta el % de matriz $M^t M$obtendrá la matriz de sumas de la energía de las raíces, que es la matriz que desea calcular el determinante de y $\det(M^t M) = (\det(M))^2 = (1-\alpha)^2(1-\beta)^2(\alpha-\beta)^2$.

Esto generaliza el resultado para matrices más grandes también.

Answer 2

Sí, tienes razón. Pero suponiendo que una de las opciones dadas es correcta (que es seguro hacerlo en, digamos, un examen), habría sido suficiente para probar un par bien solicitado, decir $\alpha=0,\beta=-1$. Entonces la matriz es

$$\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 2\ 0 & 2 & 0\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$$

y su determinante es fácilmente calculado $4$. La única respuesta que cabe es por lo tanto (a), $k=1$.