Tengo una pregunta sobre el conjunto de puro Cuádrupla:
Deje $\mathbb K$ ser un campo de $\text{Char}$($\mathbb K$)$\neq 2$.
Set $Q=Q(a,b\mid \mathbb K)=(a,b)_{\mathbb K}$ ser el álgebra de Cuaterniones para$a,b \in \mathbb K$,$\mathbb K$$1, i, j$$k$, de tal manera que \begin{cases} i^2=a,\\ j^2=b,\\ k^2=-ab,\\ ij=-ji=k, \\ki=-aj, \\ ik=aj,\\ kj=bi,\\ jk=-bi \end{casos} Entonces el conjunto $Q_0=Q_0(a,b\mid \mathbb K)=\langle \mathbb K i+\mathbb Kj+\mathbb Kk \rangle $ con los escalares parte igual a cero se llama el conjunto de puro Cuaterniones.
Ahora la pregunta es la siguiente:
(1) Mostrar que $x \in Q_0$ si y sólo si $x\notin \mathbb K$ $x^2 \in \mathbb K$ y a la conclusión de que si $\varphi: Q \to Q'$ $\mathbb K$- isomorfismo lineal de tales álgebras de cuaterniones, a continuación,$\varphi (Q_0)=Q_{0}^{'}$.
(2) Vamos a $[,]:Q \times Q \to Q$ ser el colector, es decir, $[x:y] = xy - yx$ todos los $x,y \in Q.$ Muestran que $[Q_0,Q_0]\subset Q_0$ con igualdad si $a\neq 0 \neq b.$
(3) Deje $a,b \in \mathbb K- \{0\}$. Demostrar que no $Q(a,b\mid \mathbb K) \simeq Q(b,a\mid \mathbb K)\simeq Q(a,-ab\mid \mathbb K)$ ($\mathbb K$- álgebras)
Para la primera parte, tenemos que para $q\in Q$, $q=x_0+q_0$ para$x_0 \in \mathbb K$$q_0 \in Q_0$. A continuación, pretendemos que $q^2\in \mathbb K \Leftrightarrow q\in \mathbb K ~\text{or} ~q ~ \text{is pure}$.
Vemos que $q^2=(x_0+q_0)^2=x_{0}^{2}+2x_0q_0+q_{0}^{2}$$x_0\in \mathbb K$$q_0\in Q_0$. Y como sabemos $q_{0}^{2}=(x_1i+x_2j+x_3k)^2=-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2} \in \mathbb K$. Así que para demostrar que $q^2\in \mathbb K$, tenemos que mostrar que $x_0q_0 \in \mathbb K$. Lo que significa que $q_0 \in \mathbb K$ o $x_0=0$. Y esto significa que $q\in \mathbb K$ o $q$ es puro. Y podemos concluir que la pura cuaterniones en $Q$ son precisamente las $q$ satisfacción $q^2 \in \mathbb K$ $q \notin \mathbb K$ a lo largo de con 0.
Y $\varphi: Q \to Q'$ $\mathbb K$- isomorfismo lineal de tales álgebras de cuaterniones si se toma el centro a centro y sabemos que $\mathbb K$ es en su centro, y si por $q\in Z(Q)$, $q\in \mathbb K$ a continuación,$q^2\in \mathbb K$, y luego por la anterior, podemos concluir que $q$ es puro o un escalar. Así que tenemos $\varphi (Q_0)=Q_{0}^{'}$.
Para la segunda parte, vamos a $q_1=ix_{11}+jx_{12}+kx_{13}$$q_2=ix_{21}+jx_{22}+kx_{23}$$Q_0$. A continuación,$q_1 q_2= bi(x_{13}x_{22} - x_{12}x_{23} +aj(x_{11}x_{23} -x_{13}x_{21})+k(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21})+ax_{11}x_{21}+bx_{12}x_{22}-abx_{13}x_{23}$$q_2q_1=-aj(x_{23}x_{11}-x_{21}x_{13})-bi(x_{22}x_{13}-x_{23}x_{12})-k(x_{22}x_{11}-x_{21}x_{12})+ax_{21}x_{11}+bx_{22}x_{12}-abx_{23}x_{13}$, por lo que tenemos $q_1 q_2-q_2q_1=2bi(x_{13}x_{22} - x_{12}x_{23} +2aj(x_{11}x_{23} -x_{13}x_{21})+2k(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21})$ lo cual es un elemento de $Q_0$ si $a\neq 0\neq b$.
Por favor, hágamelo saber si mis cálculos y la lógica en la demostración de las dos primeras afirmaciones no es correcta? Gracias!
Para la tercera parte, no sé cómo demostrarlo.
Puede alguien que me haga saber cómo mostrarlo?
Gracias!
