¿Número de condición de producto de la matriz dos?

Question

Que $A$ $B$ ser un toeplitz y % definida positiva simétrica $NxN$matrices. Si $\kappa (A) > \kappa (B)$, ¿cómo mostrar que: $\kappa (B^{-1}A)

¡Gracias!

Answer 1

No es verdad. Considere por ejemplo %#% $ $$ A = \pmatrix{a & 0\cr 0 & 1/a}, \ B = \pmatrix{1/b & 0\cr 0 & b}$ #%. Entonces $a> b > 1$ $\kappa(A) = a^2 > b^2 = \kappa(B)$.

Lo cierto es que el $\kappa(B^{-1} A) = a^2 b^2 > \kappa(A)$.

EDICIÓN: Un ejemplo con matrices de Toeplitz, tomar

$\kappa(B^{-1} A) \le \kappa(A) \kappa(B)$ $ % Entonces $$ A = \pmatrix{2 & 1\cr 1 & 2\cr},\ B = \pmatrix{3 & -1\cr -1 & 3\cr}, B^{-1} A = \pmatrix{7/8 & 5/8\cr 5/8 & 7/8\cr}$.

Answer 2

Su afirmación no es verdadera. Si bien es cierto, $B=I$, tendríamos $\kappa(A)

Para un no trivial ($B\not=I$) ejemplo, considerar $A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&-0.1\-0.1&1\end{pmatrix}$. Ambos son positivos definida y Toeplitz, $\kappa(B^{-1}A)\approx 3.6667 > 3 = \kappa(A)>\kappa(B)=1.2222$.