Demostrar que todas las raíces de $p(x)=F_{n}x^{n}+..+F_{1}x+F_{0}$ pueden ' t ser real

Question

Anoche he creado este problema.
Que $p(x)=F{n}x^{n}+..+F{1}x+F{0}$ $F{n}$ Dónde está $n$ enésimo número de Fibonacci. Demostrar que todas las raíces de $p(x)$ no pueden ser real.

Edit 1:

$n>1$.

Answer 1

Que $a_1,a_2,\ldots,a_n$ ser las raíces de $n$. Entonces tenemos $$\sum a_i^2 = \left(\sum ai\right)^2- 2\sum{i \neq j} a_i aj = \left(\dfrac{F{n-1}}{Fn} \right)^2 - 2\left(\dfrac{F{n-2}}{F_n}\right)$ $ también tenemos que $$\left \vert \prod a_i \right \vert = \dfrac{F_0}{F_n} = \dfrac1{F_n}$ $ si todos %#% de #% fueron a ser real, $a_i$ y por lo tanto, de AM-GM, tenemos % $ $a_i^2 \geq 0$esto nos da %#% $ #% sin embargo, tenemos %#% $ #% por lo tanto, obtenemos la contradicción.

Answer 2

Gracias @Leg por una agradable solución. Aquí está mi solución
Aplicando el teorema de Vieta que obtenemos $\sum \alpha{i}^{2} = \frac{a{n-1}^{2}}{a{n}^{2}}-2 \frac{a{n-1}}{a{n}}$ donde $\alpha{i}$ son las raíces del polinomio.
Si todas las $\alpha{i}$ es real entonces LHS $\geq 0 $. Desde $a{i}=F{i} $ % todo $0 \leq i \leq n$así que si todas las raíces son real $ \frac{F{n-1}^{2}}{F{n}^{2}}-2 \frac{F{n-1}}{F{n}} \geq 0$. $ \frac{F{n}}{F{n-1}}> \frac{F{n-1}}{F_{n-2}}$ Que puede ser probada con un argumento simple inducción. Por lo tanto, llegamos a una contradicción.

Si los coeficientes son números catalán en lugar de números de Fibonacci, entonces también resultado sigue siendo válido.